Dado o triângulo retângulo `\text{ABC}` com pontos `D` e `E` em sua hipotenusa, de tal modo que `AD = 6` e `AE = 8` e, além disso, `D` e `E` dividem a hipotenusa em três segmentos de mesma medida `CD = DE = EB = x`. Determine o valor de `x`.
Chamei o desafio de HIPOTRINUSA, pois a hipotenusa é dividida em 3 segmentos congruentes `CD = DE = EB = x`. Essa palavra não existe em Matemática.
O fato do triângulo `\text{ABC}` ser retângulo já leva as pessoas a tentar aplicar o Teorema de Pitágoras e tentar resolver equações nascidas disso, cegamente às outras saídas mais elegantes. Bem, você só encontrará lágrimas e frustrações nesse caso, pois não temos as medidas dos catetos.
Justamente pelo fato do triângulo `\text{ABC}` ser retângulo toda circunferência a ele circunscrita possui centro na hipotenusa. Essa é uma propriedade importantissima! Consequentemente, a medida da hipotenusa é igual à medida do diâmetro da circunferência.
Assim, em `\text{ABC}` a circunferência circunscrita passa pelos vértices `A`, `B` e `C`, dividindo a hipotenusa `\overline{BC}` ao meio no ponto `F`.
É propriedade da circunferência que todos os seus pontos são equidistantes do centro `F`. Portanto, `FA=FB=FC=\text{raio}`. Uma vez que a hipotenusa `BC` mede `3x`, pois `BC = CD+DE+EB = x + x + x = 3x`, então o correlato diâmetro mede `3x`, sendo a metade disso a medida do raio `\frac{3x}{2}`.
Como `FC= CD + DF = \frac{3x}{2}`, então `x + DF = \frac{3x}{2}`. Logo `DF=\frac{x}{2}`.
Como `FB= FE + EB = \frac{3x}{2}`, então `FE + x = \frac{3x}{2}`. Logo `FE=\frac{x}{2}`.
Para o trângulo `\text{ADE}`, `\overline{AF}` se trata de uma mediana uma vez que o lado `\overline{ED}` que tal segmento corta foi dividido na metade `FE=FD =\frac{x}{2}`.
Usando a PROPRIEDADE DA MEDIANA temos:
`\frac{3x}{2}=\frac{1}{2}\sqrt{2 \cdot 6^2 + 2 \cdot 8^2 - x^2}`
`3x=\sqrt{200 - x^2}`
Elevando-se ao quadrado os dois membros e simplificando em seguida:
`9x^2= 200 - x^2`
`10x^2= 200`
`x^2= 20`
`x = \sqrt{20} = \sqrt{4 \cdot 5} = 2\sqrt{5}`.
Portanto, `x = 2\sqrt{5}`.
