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Questões comentadas com interatividade

Interatividade ao final da página

A figura representa duas circunferências de raio R e r com centros nos pontos A e B, respectivamente, tangenciando-se externamente no ponto D. Suponha que:

a) As retas t1 e t2 são tangentes a ambas as circunferências e interceptam-se no ponto C.

b) A reta t2 é tangente às circunferências no ponto D.

Calcule a área do triângulo ABC, em função dos raios R e r.

Resolução

Consideremos E e F como pontos de tangência de cada circunferência dada com a reta t2. temos que o triângulo ADC é congruente a AEC:

Assim como o triângulo BDC é congruente a BFC:

Com esses dois pares de triângulos congruentes podemos identificar 4 ângulos. Eles definem dois pares de ângulos congruentes entre si e cujas medidas comuns a cada par serão (alfa) e (beta). Veja as indicações na ilustração a seguir:

Uma vez que 2(alfa) + 2(beta) = 180°, então (alfa) + (beta) = 90°. Ou seja, é garantido que o triângulo ACB seja retângulo em C.

Temos várias relações métricas que envolvem elementos do triângulo ACB. Uma dessas relações, que é conveniente para a resolução, é h2 = R.r.

Então,

A área do triângulo ABC, em função de R e r:

 

Interatividade
 
A interatividade não pode ser utilizada em equipamentos que não tenham instalado o pug-in JAVA

 

Aprenda interagindo!

1) Uma vez que C é encontro das tangentes t1 e t2, é garantido que CE = CD = CF = h.

2) O triângulo ABC é retângulo em C.

3) A reta que passa pelos pontos A e B é perpendicular a reta t2.

4) As retas t1 e t2 são perpendiculares se, e somente se, R = r. Assim, também, AC = CB (que é uma condição equivalente).

Você pode mover, com o mouse, os pontos vermelhos na imagem.
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Professor Cardy