dificuldade
Considere as expressões
`A = 26^2 - 24^2 +23^2 - 21^2+20^2-18^2+..+5^2-3^2`
`B = 2*\sqrt{2}*\root{4}{2}*\root{8}{2}*\root{16}{2}...`
O valor de `A/B` é um número compreendido entre:
A) `117` e `120`
B) `114` e `117`
C) `111` e `114`
D) `108` e `111`
`A = 26^2 - 24^2 +23^2 - 21^2+20^2-18^2+..+5^2-3^2` — expressão dada.
`A = [26^2 - 24^2] +[23^2 - 21^2]+[20^2-18^2]+..+[5^2-3^2]` — fazendo um agrupamento conveniente.
`A = [(26+24)(26-24)] +[(23+21)(23-21)]+[(20+18)(20-18)]+..+[(5+3)(5-3)]` — usando o Produto Notável `x^2-y^2 = (x+y)(x-y)`.
`A = [(50)(2)] +[(44)(2)]+[(38)(2)]+..+[(8)(2)]` — simplificando.
`A = 50*2 +44*2+38*2+..+8*2)` — "limpando" notação agora desnecessária.
`A = 4*( 25+22+19+...+4)` — colocando `4` em evidência.
O fator `25+22+19+...+4` corresponde a uma soma de termos de uma Progressão Aritmética de razão `r=-3`. Tal soma resulta em `\frac{(a_1+a_n)}{2}*n`, onde `a_1= 25` e `a_n=4`.
Cardica
Para determinar `n` (número de termos dessa série) podemos usar o termo geral `a_n = a_1+ (n-1)r`. Assim `4 = 25+ (n-1)*(-3) <=> n = 8 `.
Para determinar `n` também podemos registrar os termos ausentes em `25+22+19+...+4` porque afinal, NESSE CASO, não são tantos termos. Subtraindo de `3` em `3`, veja: `25+22+19+16+13+10+7+4`. Temos `8` termos.
Assim, `25+22+19+...+4 = \frac{(25+4)}{2}*8=116`. Temos `A = 4*( 25+22+19+...+4)= 4*116`.
Agora a expressão `B`.
`B = 2*\sqrt{2}*\root{4}{2}*\root{8}{2}*\root{16}{2}...` — expressão dada.
`B = 2^1*2^{1/2}*2^{1/4}*2^{1/8}*2^{1/16}...` — reescrevendo usando a notação `root{n}{x}= x^{1/n}` e que `2=2^1`.
`B = 2^{1+ 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + ...}` — simplificando usando a relação `x^n * x^m = x^{m+n}`.
O expoente `1+ 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + ...` corresponde a soma dos infinitos termos de uma Progressão Geométrica de razão `q=1/2`. Tal soma resulta em `\frac{a_1}{1-q}`, onde `a_1=1` e `q=1/2`. Portanto, `1+ 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + ... = \frac{1}{1-1/2}=2`.
Então,
`B = 2^{1+ 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + ...} = 2^2=4`.
O quociente pedido `A/B= \frac{4*116}{4}=116`.
B
Autoria da resolução professor Cardy Meier
Por favor, ajude a divulgar o site que disponibiliza todo o material aberto para o seu estudo, cite [Autoria www.profcardy.com].
Matemática de Loterias
As pessoas normalmente fazem apostas na Mega Sena, pelo valor acumulado mais alto ou pelo simples hábito. Sabemos que a probabilidade de levar o prêmio principal é bem baixo. Contudo, será que vale mais a pena apostar numa Mega Sena que pode pagar R$30 milhões ou numa Timemania que pode premiar R$5 milhões?
Pensar exclusivamente na questão PROBABILIDADE é a melhor referência. Porém, aliado a isso, o VALOR DO PRÊMIO e o VALOR DA APOSTA também são interessantes de levar em conta. Vale mais a pena gastar seus REAIS na MEGA SENA que paga R$30 milhões ou numa Timemania que pode premiar R$5 milhões? A probabilidade da Timemania é melhor (em relação à da Mega) e o valor da aposta é mais baixo.
É certo que O VALOR ALTO DE PRÊMIO seduz muito e valor baixo desmotiva o interesse. Porém, se o valor alto vem de um jogo cujas chances de ganho são muito discrepantes no confronto direto, muitas vezes é mais interessante ir atrás de um prêmio menor se as suas chances de êxito vencem, mesmo sendo uma premiação inferior.
De acordo com a relação PRÊMIO A CONQUISTAR e PROBABILIDADE DE LEVAR, CUSTO DA APOSTA, eu calculei uma NOTA DE MAIS VALIA. Veja na ORDEM (de cima para baixo) onde vale mais a pena (NOTA 100) gastar seu real até onde menos vale a pena apostar, levando tudo isso em consideração
A TABELA A SEGUIR MUDA DE ACORDO COM OS VALORES DOS PRÊMIOS, CUSTOS e REGRAS. CONFIRA A ANÁLISE NA DATA INFORMADA.
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