Professor Cardy

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Considere as expressões

`A = 26^2 - 24^2 +23^2 - 21^2+20^2-18^2+..+5^2-3^2`

`B = 2*\sqrt{2}*\root{4}{2}*\root{8}{2}*\root{16}{2}...`

O valor de `A/B` é um número compreendido entre:

A) `117` e `120`

B) `114` e `117`

C) `111` e `114`

D) `108` e `111`

`A = 26^2 - 24^2 +23^2 - 21^2+20^2-18^2+..+5^2-3^2` — expressão dada.

`A = [26^2 - 24^2] +[23^2 - 21^2]+[20^2-18^2]+..+[5^2-3^2]` — fazendo um agrupamento conveniente.

`A = [(26+24)(26-24)] +[(23+21)(23-21)]+[(20+18)(20-18)]+..+[(5+3)(5-3)]` — usando o Produto Notável `x^2-y^2 = (x+y)(x-y)`.

`A = [(50)(2)] +[(44)(2)]+[(38)(2)]+..+[(8)(2)]` — simplificando.

`A = 50*2 +44*2+38*2+..+8*2)` — "limpando" notação agora desnecessária.

`A = 4*( 25+22+19+...+4)` — colocando `4` em evidência.

O fator `25+22+19+...+4` corresponde a uma soma de termos de uma Progressão Aritmética de razão `r=-3`. Tal soma resulta em `\frac{(a_1+a_n)}{2}*n`, onde `a_1= 25` e `a_n=4`.

Cardica

Para determinar `n` (número de termos dessa série) podemos usar o termo geral `a_n = a_1+ (n-1)r`. Assim `4 = 25+ (n-1)*(-3) <=> n = 8 `.

Para determinar `n` também podemos registrar os termos ausentes em `25+22+19+...+4` porque afinal, NESSE CASO, não são tantos termos. Subtraindo de `3` em `3`, veja: `25+22+19+16+13+10+7+4`. Temos `8` termos.

Assim, `25+22+19+...+4 = \frac{(25+4)}{2}*8=116`. Temos `A = 4*( 25+22+19+...+4)= 4*116`.

Agora a expressão `B`.

`B = 2*\sqrt{2}*\root{4}{2}*\root{8}{2}*\root{16}{2}...` — expressão dada.

`B = 2^1*2^{1/2}*2^{1/4}*2^{1/8}*2^{1/16}...` — reescrevendo usando a notação `root{n}{x}= x^{1/n}` e que `2=2^1`.

`B = 2^{1+ 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + ...}` — simplificando usando a relação `x^n * x^m = x^{m+n}`.

O expoente `1+ 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + ...` corresponde a soma dos infinitos termos de uma Progressão Geométrica de razão `q=1/2`. Tal soma resulta em `\frac{a_1}{1-q}`, onde `a_1=1` e `q=1/2`. Portanto, `1+ 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + ... = \frac{1}{1-1/2}=2`.

Então,

`B = 2^{1+ 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + ...} = 2^2=4`.

O quociente pedido `A/B= \frac{4*116}{4}=116`.



B

Autoria da resolução professor Cardy Meier
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