dificuldade
Sejam `A: (a, 0)`, `B: (0, a)` e `C: (a, a)`, pontos do plano cartesiano, em que `a` é um número real não nulo. Nas alternativas abaixo, assinale a equação do lugar geométrico dos pontos `P: (x, y)` cuja distância à reta que passa por `A` e `B`, é igual à distância de `P` ao ponto `C`.
A) `x^2 + y^2 - 2xy - 2ax - 2ay + 3a^2 = 0`
B) `x^2 + y^2 + 2xy + 2ax + 2ay + 3a^2 = 0`
C) `x^2 + y^2 - 2xy + 2ax + 2ay + 3a^2 = 0`
D) `x^2 + y^2 - 2xy - 2ax - 2ay - 3a^2 = 0`
E) `x^2 + y^2 + 2xy - 2ax - 2ay - 3a^2 = 0`
A reta que passa pelos pontos `A: (a, 0)` e `B: (0, a)`, com `a!=0` tem como equação `y-0=\frac{0-a}{a-0}*(x-a)`. Passando tal equação para a forma geral temos `x+y-a=0`.
A distância do ponto `P: (x, y)` à reta que passa por `A` e `B` é `\frac{|1*x+1*y-a|}{\sqrt{1^2+1^2}}`, ou seja, `\frac{|x+y-a|}{\sqrt{2}}`.
A distância do ponto `P: (x, y)` ao ponto `C: (a, a)` é `\sqrt{(x-a)^2+(y-a)^2}`.
Do enunciado, as distâncias devem ser iguais, logo:
`\frac{|x+y-a|}{\sqrt{2}} = \sqrt{(x-a)^2+(y-a)^2}`
Elevando-se ao quadrado os dois membros:
`\frac{(x+y-a)^2}{2} = (x-a)^2+(y-a)^2`.
Simplificando a última equação, chega-se em:
`x^2 + y^2 - 2xy - 2ax - 2ay + 3a^2 = 0`
A
Autoria da resolução professor Cardy Meier
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