Numa PG qualquer o produto dos termos equidistantes é sempre igual. Isso quer dizer, por exemplo:

`(2, 4, 8, 16, 32)_{\text{PG}}` temos `2*32=4*16=8*8`.

Assim, em `(a_1, a_2, a_3, a_4, a_5)_{\text{PG}}` temos

`a_1*a_5=a_2*a_3=a_2*a_4 = a_3*a_3` (I)

 

Foi dado que:

`a_1 + a_2 + a_3+a_4+a_5 = S` (II)

Sendo assim:

`1/a_1 + 1/a_2 +1/a_3+1/a_4+1/a_5 =`

`\frac{ (a_2 *a_3*a_4*a_5)+(a_1 *a_3*a_4*a_5)+(a_1 * a_2 *a_4*a_5)+ ... }{a_1 * a_2 *a_3*a_4*a_5} `

`\frac{ ... +(a_1 * a_2 *a_3*a_5)+(a_1 * a_2 *a_3*a_4)}{a_1 * a_2 *a_3*a_4*a_5} ` (III)

Cada parcela do numerador:

`(a_2 *a_3*a_4*a_5) = (a_2 *a_4)*a_3*a_5 = (a_3*a_3)*a_3*a_5=(a_3)^3*a_5`

`(a_1 *a_3*a_4*a_5) = (a_1 *a_5)*a_3*a_4 = (a_3*a_3)*a_3*a_4=(a_3)^3*a_4`

`(a_1 * a_2 *a_4*a_5) = (a_1 *a_5)*(a_2*a_4) = (a_3*a_3*a_3)*a_3=(a_3)^3*a_3`

`(a_1 * a_2 *a_3*a_5) = (a_1 *a_5)*a_3*a_2 = (a_3*a_3)*a_3*a_2=(a_3)^3*a_2`

`(a_1 * a_2 *a_3*a_4) = (a_2 *a_4)*a_3*a_1 = (a_3*a_3)*a_3*a_1=(a_3)^3*a_1`

 

O denominador pode ser reescrito como:

`a_1 * a_2 *a_3*a_4*a_5 = (a_1 * a_5) *(a_2*a_4)*a_3 = (a_3)^5`

 

Voltando em (III) com esses últimos resultados:

`\frac{ ((a_3)^3*a_5)+((a_3)^3*a_4)+((a_3)^3*a_3)+((a_3)^3*a_2)+((a_3)^3*a_1)}{(a_3)^5} =`

`\frac{ (a_3)^3*((1*a_5)+(1*a_4)+(1*a_3)+(1*a_2)+(1*a_1))}{(a_3)^5} =`

`\frac{ a_5+a_4+a_3+a_2+a_1}{(a_3)^2} =\frac{S}{(a_3)^2}`

 

Temos que `a_3=a_1*q^2`:

`\frac{S}{(a_3)^2}=\frac{S}{(a_1*q^2)^2}`

 

Como, numa PG de 5 termos, `S = a_1*\frac{1-q^5}{1-q}`, ou seja, `a_1 =S*\frac{1-q}{1-q^5}`

 

`\frac{S}{(a_1*q^2)^2}=\frac{S}{(S*\frac{1-q}{1-q^5}*q^2)^2}=\frac{1}{S*(\frac{1-q}{1-q^5}*q^2)^2}=\frac{(1-q^5)^2}{S*((1-q)^2*q^4)`

Finalmente:

`1/a_1 + 1/a_2 +1/a_3+1/a_4 +1/a_5=\frac{(1-q^5)^2}{S*((1-q)^2*q^4)}=\frac{q^10-2q^5+1}{S*(q^6-2q^5+q^4)}`

B

Autoria da questão e da resolução professor Cardy Meier
Por favor, ajude a divulgar o site que disponibiliza todo o material aberto para o seu estudo, cite [Autoria www.profcardy.com].