dificuldade
Dado que `(a_1, a_2, a_3, a_4, a_5)` é uma PG de razão `q`, com `q != 1` e `a_1 != 0`, cuja soma é `S`. Obter `1/a_1 + 1/a_2 +1/a_3+1/a_4+1/a_5` em função de `S` e `q`.
a) `\frac{q^10+2q^5+1}{S*(q^6-2q^5+q^4)}`
b) `\frac{q^10-2q^5+1}{S*(q^6-2q^5+q^4)}`
c) `\frac{q^10-2q^5-1}{S*(q^6-2q^5+q^4)}`
d) `\frac{q^10-2q^5+1}{S*(q^6-2q^5-q^4)}`
e) `\frac{q^10+2q^5+1}{S*(q^6+2q^5+q^4)}`
Numa PG qualquer o produto dos termos equidistantes sempre igual. Isso quer dizer, por exemplo:
`(2, 4, 8, 16, 32)_{\text{PG}}` temos `2*32=4*16=8*8`.
Assim, em `(a_1, a_2, a_3, a_4, a_5)_{\text{PG}}` temos
`a_1*a_5=a_2*a_3=a_2*a_4 = a_3*a_3` (I)
Foi dado que:
`a_1 + a_2 + a_3+a_4+a_5 = S` (II)
Sendo assim:
`1/a_1 + 1/a_2 +1/a_3+1/a_4+1/a_5 =`
`\frac{ (a_2 *a_3*a_4*a_5)+(a_1 *a_3*a_4*a_5)+(a_1 * a_2 *a_4*a_5)+ ... }{a_1 * a_2 *a_3*a_4*a_5} `
`\frac{ ... +(a_1 * a_2 *a_3*a_5)+(a_1 * a_2 *a_3*a_4)}{a_1 * a_2 *a_3*a_4*a_5} ` (III)
Cada parcela do numerador:
`(a_2 *a_3*a_4*a_5) = (a_2 *a_4)*a_3*a_5 = (a_3*a_3)*a_3*a_5=(a_3)^3*a_5`
`(a_1 *a_3*a_4*a_5) = (a_1 *a_5)*a_3*a_4 = (a_3*a_3)*a_3*a_4=(a_3)^3*a_4`
`(a_1 * a_2 *a_4*a_5) = (a_1 *a_5)*(a_2*a_4) = (a_3*a_3*a_3)*a_3=(a_3)^3*a_3`
`(a_1 * a_2 *a_3*a_5) = (a_1 *a_5)*a_3*a_2 = (a_3*a_3)*a_3*a_2=(a_3)^3*a_2`
`(a_1 * a_2 *a_3*a_4) = (a_2 *a_4)*a_3*a_1 = (a_3*a_3)*a_3*a_1=(a_3)^3*a_1`
O denominador pode ser reescrito como:
`a_1 * a_2 *a_3*a_4*a_5 = (a_1 * a_5) *(a_2*a_4)*a_3 = (a_3)^5`
Voltando em (III) com esses ltimos resultados:
`\frac{ ((a_3)^3*a_5)+((a_3)^3*a_4)+((a_3)^3*a_3)+((a_3)^3*a_2)+((a_3)^3*a_1)}{(a_3)^5} =`
`\frac{ (a_3)^3*((1*a_5)+(1*a_4)+(1*a_3)+(1*a_2)+(1*a_1))}{(a_3)^5} =`
`\frac{ a_5+a_4+a_3+a_2+a_1}{(a_3)^2} =\frac{S}{(a_3)^2}`
Temos que `a_3=a_1*q^2`:
`\frac{S}{(a_3)^2}=\frac{S}{(a_1*q^2)^2}`
Como, numa PG de 5 termos, `S = a_1*\frac{1-q^5}{1-q}`, ou seja, `a_1 =S*\frac{1-q}{1-q^5}`
`\frac{S}{(a_1*q^2)^2}=\frac{S}{(S*\frac{1-q}{1-q^5}*q^2)^2}=\frac{1}{S*(\frac{1-q}{1-q^5}*q^2)^2}=\frac{(1-q^5)^2}{S*((1-q)^2*q^4)`
Finalmente:
`1/a_1 + 1/a_2 +1/a_3+1/a_4 +1/a_5=\frac{(1-q^5)^2}{S*((1-q)^2*q^4)}=\frac{q^10-2q^5+1}{S*(q^6-2q^5+q^4)}`
B
Autoria da questão e da resolução professor Cardy Meier
Por favor, ajude a divulgar o site que disponibiliza todo o material aberto para o seu estudo, cite [Autoria www.profcardy.com].
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