EXTRA 2013 Geometria Plana
A figura abaixo representa um triângulo `ABC`, com `AB=5`, `BE=y`, `EC=4`, `CF=x` e `AF=6-x`. O ponto `D` é incentro do triângulo `ABC`.
`x + y =`
A) `199/30`
B) `766/111`
C) `4`
D) `511/3`
E) `13/2`
Uma vez que o ponto `A` é incentro, ele representa o ponto de encontro das bissetrizes internas do triângulo `ABC`.
Pelo Teorema das Bissetrizes Internas, temos que:
Da bissetriz `\vec{AE}`:
`\frac{AB}{BE} = \frac{CA}{EC}`
`\frac{5}{y} = \frac{(6 - x) + x}{4}`
`\frac{5}{y} = \frac{6}{4}`
`y=10/3`
Da bissetriz `\vec{BF}`:
`\frac{BA}{AF} = \frac{BC}{CF}`
`\frac{6}{6-x} = \frac{y+4}{x}`
Como `y=10/3`
`\frac{5}{6-x} = \frac{10/3+4}{x}`
`x=132/37`
Portanto `x+y=132/37+10/3=766/11`.