EXTRA 2015 Potência de Ponto
A circunferência de centro `O` tem raio `4`, a reta `CD` é perpendicular à reta `AB` no ponto `F`, médio de `\bar{OB}`. Determine `FC`.
A) `4`
B) `2`
C) `\sqrt{2}`
D) `2\sqrt{3}`
E) `3\sqrt{3}`
Como a reta `CD` é perpendicular à reta `AB` no ponto `F`, em `F` temos determinado ângulo reto (`\alpha = 90º`). Repare na ilustração os segmentos auxiliares `\bar{OC}` e `\bar{OD}` que também são raios da circunferência e, portanto, também medem `4` ( `OA=OB=OC=OD=4` ). Foi enunciado que `F` é ponto médio de `\bar{OB}`, logo temos que `OF=FB=2` uma vez que `OB=4`.
Como os triângulos `OFC` e `OFD` são retângulos, tem hipotenusa e um dos catetos de mesma medida, então `OFC` e `OFD` são congruentes (todas as medidas dos seus lados correspondentes são iguais). Assim concluimos que `FC=FD` e adotaremos essa medida como `x`, Então `FC=FD = x`.
Podemos obter o valor de `x` por dois modos.
Primeiro modo. Por Pitágoras no triângulo `OFC`:
`OC^2 = OF^2 + x^2`
`4^2 = 2^2 + x^2`
`x^2 = 4^2-2^2=16-4=12`
`x=\sqrt{12}=\sqrt{4 \cdot 3}=2\sqrt{3}`
Segundo modo. Usando Potência de Ponto:
`FC \cdot FD=AF \cdot FB`
`x \cdot x=6 \cdot 2`
`x^2=12`
`x=\sqrt{12}=\sqrt{4 \cdot 3}=2\sqrt{3}`