ENEM 2015 Função do 2º Grau
Um estudante está pesquisando o desenvolvimento de certo tipo de bactéria. Para essa pesquisa, ele utiliza uma estufa para armazenar as bactérias. A temperatura no interior dessa estufa, em graus Celsius, é dada pela expressão `T(h) = -h^2 + 22h - 85`, em que `h` representa as horas do dia. Sabe-se que o número de bactérias é o maior possível quando a estufa atinge sua temperatura máxima e, nesse momento, ele deve retirá-las da estufa. A tabela associa intervalos de temperatura, em graus Celsius, com as classificações: muito baixa, baixa, média, alta e muito alta.
| Intervalos de Temperatura (ºC) | Classificação |
| T < 0 | muito baixa |
| 0 ≤ T ≤ 17 | baixa |
| 17 < T < 30 | média |
| 30 ≤ T ≤ 43 | alta |
| T > 43 | muito alta |
Quando o estudante obtém o maior número possível de bactérias, a temperatura no interior da estufa está classificada como
A) muito baixa.
B) baixa.
C) média.
D) alta.
E) muito alta.
A lei da função `T` representa uma função quadrática cujo ponto de máximo é o vértice do seu gráfico, uma parábola.
Para se obter as coordenadas cartesianas do vértice `V` do gráfico de uma função quadrática, genericamente escrita na forma `f(x) =ax^2+bx+c`, podemos usar o resultado direto `V=(-\frac{b}{2a}, -\frac{\Delta}{4a})`, onde `\Delta=b^2-4ac`. No caso, adaptando os elementos literais, `T(h) = -h^2 + 22h - 85` temos `V=(-\frac{22}{-2}, -\frac{22^2 - 4(-1)(-85)}{-4}) = (11,36)`.
Sem dúvidas o caminho anterior é um modo bem comum de resolução... Mas depende do conhecimento da fórmula `V=(-\frac{b}{2a}, -\frac{\Delta}{4a})`.
Contudo, conhecendo a Forma Canônica de uma Função Quadrática, o caminho para as coordenadas do vértice é hiper mais direto porque esse formato justamente visa o destaque do vértice. Adaptando-se o formato que a lei é exibida, escapa-se da necessidade de memorizar a fórmula das coordenadas do vértice.
Depois de ler o artigo, repare que completar o quadrado é bem simples (claro, depois que você se sente confortável com o método):
`T(h) = -h^2 + 22h - 85 `
`T(h) = -(h -22h+...) - 85 +...` — deixo os `...` para indicar a posição do número conveniente para completar o quadrado.
`T(h) = -(h -22h+ 121) - 85 +121` — o número `121` é metade do 22 elevado ao quadrado, ou seja `(22/2)^2 = 11^2=121`
`T(h) = -(h -11)^2 +36` — portanto `V=(11,36)`.
Vale a pena conhecer Forma Canônica de uma Função Quadrática. É sempre mais um recurso para os bons estudantes.
De todo modo, para `h=11` temos `T=36` máximo. Logo a classificação é alta.