FUVEST 2011 Logaritmos
Seja x > 0 tal que a sequência a1 = log2(x), a2 = log4 (4x), a3 = log8 (8x) forme, nessa ordem, uma progressão aritmética. Então a1 + a2 + a3 é igual a
a) 13/2
b) 15/2
c) 17/2
d) 19/2
e) 21/2
Como (a1, a2, a3) é progressão aritmética, então:
a2 - a1 = a3 - a2
log4(4x) - log2(x) = log8(8x) - log4(4x)
Usando a propriedade de Mudança de Base de um logaritmo, a última equação pode ser reescrita como:
(1/2)log2(4x) - log2(x) = (1/3)log2(8x) - (1/2)log2(4x)
(1/2)log2(4x) + (1/2)log2(4x) = (1/3)log2(8x) + log2(x)
log2(4x) = (1/3)log2(8x) + log2(x)
3log2(4x) = log2(8x) + 3log2(x)
Usando a propriedade do Logartimo da Potência , a última equação pode ser reescrita como:
log2(4x)3 = log2(8x) + log2(x)3
Usando a propriedade do Logaritmo do Produto, a última equação pode ser reescrita como:
log2(4x)3 = log2(8x)(x)3
log2(4x)3 = log2(8x4)
Logo, (4x)3 = 8x4, com x > 0, tem-se x = 8.
Assim, a1 + a2 + a3 = log2(8) + log4(32) + log8 (64) = 3 + 5/2 + 2 = 15/2