FUVEST 2011 Probabilidade
Um dado cúbico, não viciado, com faces
numeradas de 1 a 6, é lançado três vezes. Em cada
lançamento, anota-se o número obtido na face superior
do dado, formando-se uma sequência (a, b, c). Qual é a
probabilidade de que b seja sucessor de a ou que c seja
sucessor de b?
a) 4/27
b) 11/54
c) 7/27
d) 10/27
e) 23/54
Fazendo um diagrama auxiliar como este:
| 1º Lançamento (A) | 2º Lançamento (B) | 3º Lançamento (C) |
|---|---|---|
6 possibilidades {1, 2, 3, 4, 5, 6} |
6 possibilidades {1, 2, 3, 4, 5, 6} |
6 possibilidades {1, 2, 3, 4, 5, 6} |
Portanto o Espaço Amostral tem 6 x 6 x 6 = 63 = 216.
Para o Evento desejado (um número B seja sucessor de A ou que um número C seja sucessor de B), usaremos:
I. Sequências em que B seja sucessor de A:
Destacando que no primeiro lançamento não compareça "6" para que exista um sucessor C.
| 1º Lançamento (A) | 2º Lançamento (B) | 3º Lançamento (C) |
|---|---|---|
5 possibilidades {1, 2, 3, 4, 5} |
1 possibilidade o sucessor de A |
6 possibilidades {1, 2, 3, 4, 5, 6} |
Neste caso, 5 x 1 x 6 = 30 possibilidades.
Portanto, P(I) = 30/216.
II. Sequências em que C seja sucessor de B:
Destacando que no segundo lançamento não compareça "6" para que exista um sucessor B.
1º Lançamento (A) 2º Lançamento (B) 3º Lançamento (C) 6 possibilidades
{1, 2, 3, 4, 5, 6}
5 possibilidades
{1, 2, 3, 4, 5}
1 possibilidade
o sucessor de B
Neste caso, 6 x 5 x 1 = 30 possibilidades.
Portanto, P(II) = 30/216.
III. Sequências em que C seja sucessor de B e Sequências em que B seja sucessor de A:
Destacando que no primeiro lançamento não compareça nem "5" e nem "6" para que existam sucessores nas outras posições.
1º Lançamento (A) 2º Lançamento (B) 3º Lançamento (C) 4 possibilidades
{1, 2, 3, 4}
1 possibilidade
o sucessor de A
1 possibilidade
o sucessor de B
Neste caso, 4 x 1 x 1 = 4 possibilidades.
Portanto, P(III) = 4/216.
Lembrando que P(um número B seja sucessor de A ou que um número C seja sucessor de B) = P(um número B seja sucessor de A) + P(um número C seja sucessor de B) - P(um número B seja sucessor de A e que um número C seja sucessor de B) = P(I) + P(II) - P(III) = (30 + 30 - 4)/216 = 56/216 = 7/27.