EXTRA 2012 Função Inversa
Dada a função `f: [3, +oo] rarr \mathbb{R}_+ `, com `f^(-1)(x) = x^2 -6x + 9`. Obtenha a lei da sua função inversa `f^(-1)`.
(A) `f^(-1)(x) = 3 +\sqrt{x}`
(B) `f^(-1)(x) = 3 -\sqrt{x}`
(C) `f^(-1)(x) = -3 +\sqrt{x}`
(D) `f^(-1)(x) = -3 -\sqrt{x}`
(E) `f^(-1)(x) = - x^2 +6x - 9`
`f(x) = x^2 -6x + 9 `
`y = x^2 -6x + 9`
`0 = x^2 -6x + 9 - y`
Assim, temos `x^2 -6x + 9 - y = 0`.
`\Delta = b^2 - 4a(c-y) = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (9-y) = 36 -36+4y=4y`
`x_(1,2) = \frac{-b +- \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-(-6) +- \sqrt{4y}}{2 \cdot 1}`
`x_(1,2) = \frac{6 +- \sqrt{4y}}{2} = \frac{6}{2} +-2\frac{\sqrt{y}}{2} = 3 +-\sqrt{y}`
`x_(1,2) = 3 +-\sqrt{y}`
Como o domínio da função é [3, +∞[ então o valor do x pertence a um intervalo onde os valores de x são maiores ou iguais a 3. Portanto o conveniente é o x1.
`x_1 = 3 +\sqrt{y}`
Logo,
`f^(-1)(x) = 3 +\sqrt{x}`