EXTRA 2012 Função Inversa
Dada a função `f: ]-oo, 3] rarr [-1, +oo[ `, com `f^(-1)(x) = x^2 -6x + 8`. Obtenha a lei da sua função inversa `f^(-1)`.
(A) `f^(-1)(x) = 3 +\sqrt{x}`
(B) `f^(-1)(x) = 3 -\sqrt{x}`
(C) `f^(-1)(x) = -3 +\sqrt{1-x}`
(D) `f^(-1)(x) = 3 -\sqrt{1+x}`
(E) `f^(-1)(x) = - x^2 +6x - 8`
`f(x) = x^2 -6x + 8 `
`y = x^2 -6x + 8`
`0 = x^2 -6x + 8 - y`
Assim, temos `x^2 -6x + 8 - y = 0`.
`\Delta = b^2 - 4a(c-y) = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (8-y) = 36 -32+4y==4- 4y = 4 \cdot (1+y)`
`x_(1,2) = \frac{-b +- \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-(-6) +- \sqrt{4 \cdot (1-y)}}{2 \cdot 1}`
`x_(1,2) = \frac{6 +- \sqrt{4 \cdot (1+y)}}{2} = \frac{6}{2} +-2\frac{\sqrt{1+y}}{2} = 3 +-\sqrt{1+y}`
`x_(1,2) = 3 +-\sqrt{1+y}`
Como o domínio da função é ]–∞, 3] então o valor do x pertence a um intervalo onde os valores de x são, no máximo, iguais a 3. Portanto o conveniente é o x2.
`x_2 = 3 -\sqrt{1+y}`
Logo,
`f^(-1)(x) = 3 -\sqrt{1+x}`