ENEM 2015 MDC e MMC
Um arquiteto está reformando uma casa. De modo a contribuir com o meio ambiente, decide reaproveitar tábuas de madeira retiradas da casa. Ele dispõe de 40 tábuas de 540 cm, 30 de 810 cm e 10 de 1 080 cm, todas de mesma largura e espessura. Ele pediu a um carpinteiro que cortasse as tábuas em pedaços de mesmo comprimento, sem deixar sobras, e de modo que as novas peças ficassem com o maior tamanho possível, mas de comprimento menor que 2 m.
Atendendo o pedido do arquiteto, o carpinteiro deverá produzir
A) 105 peças.
B) 120 peças.
C) 210 peças.
D) 243 peças.
E) 420 peças.
Tem-se tábuas de 540 cm, 810 cm e de 1 080 cm.
Fatorando-se cada um desses números, temos:
`540 = 2^2 \cdot 3^3 \cdot 5`
`810 = 2 \cdot 3^4 \cdot 5`
`1080 = 2^3 \cdot 3^3 \cdot 5`
Para que não existam sobras nos cortes é necessário que o maior tamanho possível seja o máximo divisor comum entre 540, 810 e 1080.
Na fatoração de cada um dos números são fatores comuns as potências de base 2, 3 e 5. As ocorrências máximas e comuns de cada potência são `2^1`, `3^3` e `5^1`. Repare nisso, numa reordenação das fatorações para evidenciar isso:
`540 = (2^1 \cdot 3^3 \cdot 5^1) \cdot 2^1`
`810 = (2^1 \cdot 3^3 \cdot 5^1) \cdot 3^1`
`1080 = (2^1 \cdot 3^3 \cdot 5^1) \cdot 2^2 `
Assim o `\text{MDC}(540, 810 ,1080) =2^1 \cdot 3^3 \cdot 5^1 = 270`. Porém, como as novas peças devem ter comprimento menor que 2 m, ou seja, menor que `200` cm, não podemos usar o tamanho de `27`0 cm. O maior divisor comum e menor que `200` é `3^3 \cdot 5^1 = 135` (basta eliminar o fator mais baixo presente que é `2^1`).
Vamos calcular quantas peças podemos recortar usando a dimensão `135` cm:
Nas peças de 540 cm: `540/135=4`, com `40` dessas disponíveis, temos um subtotal de peças de `4 \cdot 40=160`.
Nas peças de `810` cm: `810/135=6`, com `30` dessas disponíveis, temos um subtotal de peças de `6 \cdot 30=180`.
Nas peças de `1080` cm: `1080/135=8`, com `10` dessas disponíveis, temos um subtotal de peças de `8 \cdot 10=80`.
Total `160 + 180 + 80 = 420` peças.