UECE 2007 Conjuntos
Seja `n` um número natural, que possui exatamente
três divisores positivos, e seja `X` o conjunto de todos os divisores positivos de `n^3`. O número de elementos do conjunto das partes de `X` é:
A) `64`
B) `128`
C) `256`
D) `512`
Sendo `n` decomposto em fatores primos positivos
`n=2^(a_1}xx 3^(a_2}xx 5^(a_3}xx 7^(a_4}xx ...xx p^(a_k)xx ...`
Onde `a_1, a_2, ..., a_k` são números naturais, `k in NN^{ \cdot \cdot }` e `p` é um número primo positivo qualquer.
O número de divisores positivos de `n` é `(a_1+1)xx(a_2+1)xx...xx(a_k+1)`.
Como `n` tem exatamente 3 divisores positivos `(a_1+1)xx(a_2+1)xx...xx(a_k+1)` exclusivamente deve ter um único valor `a_k = 2` e todos os demais devem ser nulos, pois caso contrário `(a_1+1)xx(a_2+1)xx...xx(a_k+1)` seria maior que 3. Repare que o valor mínimo para qualquer `a_k` é `1`.
Assim, o número de divisores positivos de `n` é `a_k+1 = 3 :. a_k=2`. Logo, temos que `n=p^2`.
Isso quer dizer que o número `n` para ter exatamente 3 divisores tem que ser um quadrado perfeito de um número primo `p`, pois `n=p^2`. Como exemplos, n poderia ser `2^2=4`, `3^2=9`, `4^2=16`, `5^2=25`, etc. Todos esses números exemplificados tem exatamente 3 divisores positivos, confira: `4 -> {1,2,4}`, `9 -> {1, 3, 9}`, `16 -> {1, 4, 16}` e `25 -> {1, 5, 25}`
Foi estipulado que analisemos o número de elementos do conjunto das partes de `X`, onde `X` é o conjunto de todos os divisores positivos de `n^3`; portanto de `(p^2)^3=p^6`.
O número de divisores positivos de `p^6` é `(6+1)=7`. Temos que o número de elementos do conjunto das partes de conjunto de `7` elementos é `2^7 = 128`.