ENEM 2011 Geometria Analítica
Um bairro de uma cidade foi planejado em uma região plana, com ruas paralelas e perpendiculares, delimitando quadras de mesmo tamanho. No plano de coordenadas cartesianas ao lado, esse bairro localiza-se no segundo quadrante, e as distâncias nos eixos são dadas em quilômetros. A reta de equação `y = x + 4` representa o planejamento do percurso da linha do metrô subterrâneo que atravessará o bairro e outras regiões da cidade. No ponto `P = (–5, 5)`, localiza-se um hospital público. A comunidade solicitou ao comitê de planejamento que fosse prevista uma estação do metrô de modo que sua distância ao hospital, medida em linha reta, não fosse maior que 5 km.
Atendendo ao pedido da comunidade, o comitê argumentou corretamente que isso seria automaticamente satisfeito, pois já estava prevista a construção de uma estação no ponto
A) (–5, 0)
B) (–3, 1)
C) (–2, 1)
D) (0, 4)
E) (2, 6)
Para que um ponto pertença à referida reta, no Plano Cartesiano, é necessário que as coordenadas do ponto satisfaçam a equação `y = x + 4`
Ponto (x, y) |
`y = x + 4` |
Pertinência à reta |
(–5, 0) |
`0 !=-5+4` |
não |
(–3, 1) |
`1=-3+4` |
sim |
(–2, 1) |
`1!=-2+4` |
não |
(0, 4) |
`4=0+4` |
sim |
(2, 6) |
`6=2+4` |
sim |
Portanto, apenas os pontos Q = (–3, 1), R = (0, 4) e S = (2, 6) pertencem à reta dada. A distância de cada um desses pontos ao ponto da posição do hospital P = (-5, 5) é calculada a seguir.
De Q = (–3, 1) a P = (-5, 5):
`d_{QP} = \sqrt{\Delta_x^2 +\Delta_y^2} = \sqrt{(x_Q-x_P)^2+(y_Q-y_P)^2}=`
`d_{QP} = \sqrt{(-3-(-5))^2 +(1-5)^2 }=\sqrt{20}`
Observando que `\sqrt{20} < 5`.
De R = (0, 4) a P = (-5, 5):
`d_{RP} = \sqrt{\Delta_x^2 +\Delta_y^2} = \sqrt{(x_R-x_P)^2+(y_R-y_P)^2}=`
`d_{RP} = \sqrt{(0-(-5))^2 +(4-5)^2 }=\sqrt{26}`
Observando que `\sqrt{26} > 5`.
De S = (2, 6) a P = (-5, 5):
`d_{RP} = \sqrt{\Delta_x^2 +\Delta_y^2} = \sqrt{(x_R-x_P)^2+(y_R-y_P)^2}=`
`d_{RP} = \sqrt{(2-(-5))^2 +(6-5)^2 }=\sqrt{50}`
Observando que `\sqrt{50} > 5`.
Portanto, o único ponto que atende a restrição da distância não seja maior que 5 de P = (-5,5) é Q = (–3, 1).
