Exercício EXTRA 2011

A soma dos 20 primeiros termos de uma PA:

Depende de `a_{20}` e de `a_1` que ainda não foram determinados.

Lembrando o Termo Geral de uma PA:

Com `a_6 = 2` temos:

` a_n = a_1 + (n - 1) \cdot r `

` a_6 = a_1 + (6 - 1) \cdot r `

` 2 = a_1 + 5 \cdot r ` (I)

Com `a_{38} = 10` temos:

` a_n = a_1 + (n - 1) \cdot r `

` a_{38} = a_1 + (38 - 1) \cdot r `

` 10 = a_1 + 37 \cdot r ` (II)

Das equações (I) e (II) montamos um sistema linear de duas incógnitas (`a_1` e `r`):

`{(2 = a_1 + 5 \cdot r , text(I)),(10 = a_1 + 37 \cdot r , text(II)):}`

Subtraindo, membro a membro, a equação II da equação I, temos:

`\frac{{(2 = a_1 + 5 \cdot r , text(I)),(10 = a_1 + 37 \cdot r , text(II)):}}{text(II - I: ) 10 - 2 = 32 \cdot r <=> r = \frac{8}{32} = \frac{1}{4} }`

Substituindo `r = \frac{1}{4}` na equação I, temos:

` 2 = a_1 + 5 \cdot r `

` 2 = a_1 + 5 \cdot \frac{1}{4} <=> 2 - 5 \cdot \frac{1}{4} = a_1 <=> \frac{2 \cdot 4 - 5}{4} = \frac{3}{4} = a_1 `

Portanto, `a_1 = \frac{3}{4}`

Precisamos determinar `a_{20}`

` a_{20} = a_1 + (20 - 1) \cdot r `

` a_{20} = \frac{3}{4} + 19 \cdot \frac{1}{4} `

` a_{20} = \frac{3 + 19}{4} = \frac{22}{4} `

A soma dos 20 primeiros termos:

` S_{20} = ((a_1 + a_20) \cdot 20)/2 `

` S_{20} = ((\frac{3}{4} + \frac{22}{4}) \cdot 20)/2 `

` S_{20} = (\frac{3 + 22}{4}) \cdot 10 `

` S_{20} = \frac{25}{4} \cdot 10 `

` S_{20} = \frac{25}{2} \cdot 5 `

` S_{20} = \frac{125}{2} `

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