ENEM 2015 Geometria Espacial
O tampo de vidro de uma mesa quebrou-se e deverá ser substituído por outro que tenha a forma de círculo. O suporte de apoio da mesa tem o formato de um prisma reto, de base em forma de triângulo equilátero com lados medindo 30cm.
Uma loja comercializa cinco tipos de tampos de vidro circulares com cortes já padronizados, cujos raios medem 18 cm, 26 cm, 30 cm, 35 cm e 60 cm. O proprietário da mesa deseja adquirir nessa loja o tampo de menor diâmetro que seja suficiente para cobrir a base superior do suporte da mesa.
Considere 1,7 como aproximação da raiz de 3.
O tampo a ser escolhido será aquele cujo raio, em cm, é igual a:
A) 18
B) 26
C) 30
D) 35
E) 60
A vista do tampo de vidro e a base do prima triangular estão representados abaixo.
Como a base do prisma é um triângulo equilátero, indicado na figura como `ABC`, cada um de seus ângulos internos mede 60º (exemplo, `\alpha = 60º`). A altura `\bar{CD}` do triângulo determina um ângulo reto na base `\bar{AB}` no ponto `D` que também divide a base em seu ponto médio. Fazendo uso de um triângulo auxiliar `AOD` que, pelas características decorrentes de seus vértices, será retângulo, de hipotenusa de medida `r` (o raio do círculo) e um ângulo interno `\beta = 30º` (metade de 60º) e cateto `AD=15`.
No triângulo `AOD`:
`cos(\beta) = \frac{AD}{AO}`
`cos(30º) = \frac{15}{r}`
`\sqrt{3}/2 = \frac{15}{r}`
`r = \frac{30}{\sqrt{3}}`
`r = \frac{30 \cdot \sqrt{3}}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}}`
`r = \frac{30 \cdot \sqrt{3}}{3}`
`r = 10 \cdot \sqrt{3}`
Como foi indicado que podemos usar que `\sqrt{3}` como `1,7`, usando este dado no final, vem que `r = 17`.
Observo, contudo, que dependendo de onde tal aproximação fosse usada `r` resultaria noutro valor. Por exemplo, em `r = \frac{30}{\sqrt{3}} = \frac{30}{1,7} = 17,6471`.
De todo modo o tampo de menor raio, mas suficiente para cobrir a base, é o de 18 cm.