AFA 2016 Função do 2º Grau
Uma fábrica produz casacos de determinado modelo. O preço de um desses casacos é de R$200,00, quando são vendidos 200 casacos.
O gerente da fábrica, a partir de uma pesquisa, verificou que, para cada desconto de R$2,00 no preço de cada casaco, o número de casacos vendidos aumenta de 5.
A maior arrecadação possível com a venda dos casacos acontecerá se a fábrica vender cada casaco por um valor, em reais, pertencente ao intervalo
A) `[105,125[`
B) `[125,145[`
C) `[145,165[`
D) `[165,185[`
Temos do texto informado que para cada desconto de R$2,00 no preço de cada casaco, o número de casacos vendidos aumenta de 5:
| Preço por cada casaco | Unidades vendidas |
| `\text{R$ } 200,00` | `200` |
| `\text{R$ } 200,00 - 2` | `200+5` |
| `\text{R$ } 200,00 - 2 \cdot 2` | `200+5 \cdot 2` |
| `\text{R$ } 200,00 - 2 \cdot 3` | `200+5 \cdot 3` |
| `vdots` | `vdots` |
| `\text{R$ } 200,00 - 2 \cdot x` | `200+5 \cdot x` |
A arrecadação `A(x)` é o produto do preço de venda de cada unidade pelo total de unidades, assim `A(x) = (200 - 2x) \cdot (200+5x)`.
A função `A(x)` é uma função do 2º Grau, na forma fatorada. Em tal formato fica simples obter os seus zeros:
`A(x) = (200 - 2x) \cdot (200+5x)= 0`
`(200 - 2x) \cdot (200+5x)= 0 <=> {(200 - 2 \cdot x=0 <=> x_1=100),(200+5x=0<=>x_2=-40) :}`
O `x_{\text{máx}}` que resulta no valor máximo de arrecadação `A_{\text{máx}}` pode ser obtido pela média entre os seus zeros, ou seja com `x_{\text{máx}} = \frac{x_1+x_2}{2}= \frac{100-40}{2}=30`
Portanto, `A(x)` admite ponto de máximo para `x=30`. Assim usando `x=30` na expressão `\text{R$ } 200,00 - 2x`, chegamos em ` \text{R$ } 200,00 - 2 \cdot 30 = \text{R$ } 140,00 `.
