FUVEST 2012 Geometria Plana
O segmento `\bar{AB}` é lado de um hexágono regular de área `\sqrt{3}`. O ponto `P` pertence à mediatriz de `\bar{AB}` de tal modo que a área do triângulo `PAB` vale `\sqrt{2}`. Então, a distância de `P` ao segmento `\bar{AB}` é igual a
a) `\sqrt{2}`
b) `2\sqrt{2}`
c) `3\sqrt{2}`
d) `\sqrt{3}`
e) `2\sqrt{3}`
A área de um hexágono regular de lado `x` é 6 vezes a área de um triângulo equilátero de lado `x`. A área de um triángulo equilátero vale `\frac{x^2\sqrt{3}}{4}` (este resultado ou você deduz em separado ou você se lembra...). Este caminho de raciocínio pode ser útil se você não se recordar diretamente da área de um hexágono regular (`3 \cdot \frac{x^2\sqrt{3}}{2}`).
Ou seja: `6 \cdot \frac{x^2\sqrt{3}}{4}=3 \cdot \frac{x^2\sqrt{3}}{2}`.
Como foi enunciado que essa área é `\sqrt{3}`, temos:
`3 \cdot \frac{x^2\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}`
`x^2=\frac{2}{3}`
`x>0`
`x=\sqrt{\frac{2}{3}}`
`x=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}`
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Sendo `AB` a medida do lado do hexágono em referência, temos: `AB=x=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}`. A mediatriz de `\bar{AB}` é o Lugar Geométrico dos pontos no plano que equidistam de `A` e `B`; a intersecão dessa mediatriz com o lado `\bar{AB}` determina o ponto `M`, médio de `\bar{AB}` e perpendicular a `\bar{AB}`. A distância de `P` a `M` será denominado por `d` e que é a própria altura do triângulo `PAB`. A área deste triângulo foi dada como `\sqrt{2}`. Portanto: `\frac{\text{base} \cdot \text{altura}}{2}=\sqrt{2}` `\frac{AB \cdot d}{2}=\sqrt{2}` `\frac{\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} \cdot d}{2}=\sqrt{2}` `\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} \cdot d=2\sqrt{2}` `d=2\sqrt{3}` |