FUVEST 2012 Função
Considere a função
`f(x)=1-\frac{4x}{(x+1)^2}`
a qual está definida para `x != –1`. Então, para todo `x != 1` e `x != –1`, o produto `f(x)f(–x)` é igual a
a) `–1`
b) `1`
c) `x + 1`
d) `x^2 + 1`
e) `(x – 1)^2`
Podemos simplificar a lei da função `f`, reduzindo a uma única fração (o que ajudará posteriormente nos cálculos) como segue:
`f(x)=1-\frac{4x}{(x+1)^2} = \frac{(x+1)^2-4x}{(x+1)^2}=\frac{x^2+2x+1-4x}{(x+1)^2}`
`f(x)=\frac{x^2-2x+1}{(x+1)^2}=\frac{(x-1)^2}{(x+1)^2}`
Assim, para todo `x != -1`:
`:. f(x)=\frac{(x-1)^2}{(x+1)^2}`
Para o cálculo de `f(-x)` usemos a lei da função `f` simplificada e descrita acima. Ficamos com:
`f((-x))=\frac{((-x)-1)^2}{((-x)+1)^2}=\frac{(-x-1)^2}{(-x+1)^2}=\frac{(-(x+1))^2}{(-(x-1))^2}=\frac{(x+1)^2}{(x-1)^2}`
Assim, para todo `x != 1`:
`:. f(-x)=\frac{(x+1)^2}{(x-1)^2}`
Portanto, `f(x) \cdot f(–x)`, para todo `x != 1` e `x != -1`, é:
`f(x)`` \cdot ``f(-x)``=``\frac{(x-1)^2}{(x+1)^2}`` \cdot ``\frac{(x+1)^2}{(x-1)^2}``=1`