FATEC 2007 Conjuntos Numéricos
Se `x` e `y` são números reais tais que `x = (0,25)^{0,25}`
e `y=16^{-0,125}`, é verdade que
a) `x = y`
b) `x > y`
c) `x \cdot y = 2\sqrt{2}`
d) `x - y` é um número irracional.
e) `x + y` é um número racional não inteiro.
Facilitará o trabalho passando todos os números da forma decimal para a forma fracionária.
Primeiramente
`0,25 = 25/100 = 1/4`
`-0,125 = -125/1000 = -1/8`
Agora nas equações:
`x = (0,25)^{0,25} = (1/4)^{1/4}`
`y=16^{-0,125} = 16^{-1/8}`
Temos várias potências de base 2 envolvidas. Vamos usar esse fato também, em alguns trechos:
`x = (1/4)^{1/4} = (\frac{1}{2^2})^{\frac{1}{4}} = (2^{-2})^{\frac{1}{4}}= 2^{(-2) \cdot (1/4)} = 2^{-2/4}=2^{-1/2}`
`y=16^{-1/8} = (2^4)^{-1/8}= 2^{4 \cdot (-1/8)}=2^(-4/8)=2^(-1/2)`
Temos `x = 2^{-1/2}` e `y = 2^{-1/2}`. Logo, `x=y`.