DESTAQUE — EXTRA
A pirâmide quadrangular `FABCD`, de base `ABCD`, tem altura `FE = h = 4` cm.
Sabendo que a área da base é `36` cm2 , determine a medida do apótema da pirâmide.
B) `4`.
C) `5`.
D) `6`.
E) `7`.
A pirâmide quadrangular tem por base um quadrado. Assim a base `ABCD` é um quadrado e todos os seus lados têm medidas iguais. Dado que a área desse quadrado é `36` tem-se que cada lado mede `\sqrt{36}=6`.
A distância procurada é a medida `a` de um dos apótemas da base, que corresponde a um dos segmentos que liga na menor distância o ponto `E` (pé da altura da pirâmide) com um lado; no caso o lado `\bar{CD}` da base.
Dando destaque ao triângulo `CEG`, na ilustração acima, tem-se que `\bar{EG}` é perpendicular ao lado `CD` e, como consequência disso, `\bar{EG}` é paralelo aos lados `\{AD}` e `\bar{BC}`. Este último fato do paralelismo determina que o ângulo `CEG` também tenha medida de 45º (do mesmo modo que `CAD`). Logo o triângulo `CEG` é isósceles e retângulo em `G`.
Decorre de propriedade que o apótema do quadrado divide o respectivo lado no seu ponto médio e determinha ângulo reto com o lado. Portanto `G` é ponto médio de `\bar{CD}` e mede metade da medida do lado, assim `CG=GD=3`. Logo o triângulo `CEG` tem cateto de medida `3`.
Cardica
Como a soma das medidas dos ângulos internos de um triângulo é 180º, quando ele for retângulo (já tem um de medida 90º) e outro de 45º (já tem o de 90º e um de 45º) implica que o terceiro também deve ter 45º para completar os 180º totais.
Todo triângulo que tem dois ângulos internos de mesma medida será isósceles. Ou seja, terá também dois lados de mesma medida.
Assim, quando você trabalhar com um triângulo retângulo e for sabido que um de seus ângulos internos mede 45º, ele terá catetos de mesma medida porque também será isósceles.
Dessas características, temos que o triângulo `CEG` seja retângulo e isósceles, temos que `CG=EG=3`.
Logo `a=EG=3`.
O apótema da pirâmide (regular) é o segmento de menor medida que liga o vértice da pirâmide `F` a uma das arestas de sua base. Um apótema será, por exemplo o segmento de reta `FG`, indicado pela medida `p`.
Do Teorema de Pitágoras no triângulo `FEG`, retângulo em `E`:
`FG^2 = FE^2 + EG^2`
`p^2 = h^2 + a^2`
O enunciado informou que `h=4` e calculamos `a=3`, assim:
`p^2 = 4^2+3^2`
`p^2 = 25`
`p=5`
