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Quando temos uma Progressão Aritmética `{a_n}`, isto ém cujos termos são `a_1`, `a_2`, `a_3` até parar em um `a_n` ( onde `n` será o número de termos e também a posição final).

`{a_n} = (a_1, a_2, a_3, ... , a_n)`

(a notação `{a_n}` indica o mesmo que `(a_1, a_2, a_3, ... , a_n)`)

Chamamos de Série a soma dos termos de uma Progressão. Por exemplo, `a_1+ a_2 + a_3` é uma série porque é a soma dos termos de `(a_1, a_2, a_3)`.

Quando escrevemos `S_n` nos referimos a uma série dos `n` primeiros termos de uma Progressão.

`S_n = a_1+ a_2+ a_3+ ... + a_n`

A uma sequência pode ter, por exemplo, 20 termos ou até infinitos - mas quando escrevemos `S_n` desejamos somar até o termo na posição `n` (assim, a sequência precisa ter um número de termos igual ou superior ao referido `n` da notação `S_n`.

Digamos que tenhamos `(a_1, a_2, a_3, ... , a_n)`

Para `n=1` : `S_1 = a_1`.

Para `n=2` : `S_2 = a_1+ a_2`.

Para `n=3` : `S_3 = a_1+ a_2+ a_3`.

Soma dos `n` Primeiros Termos de uma P.A.

`S_n= \frac{(a_1+a_n)*n}{2}`

Onde `a_1` é o primeiro termo da P.A., `a_1` o último termo da P.A. para somar, e `n` o número de termos para somar.

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Exemplo 1


Obter a soma dos 20 primeiros termos da Progressão Aritmética `(2, 5, ...)` .


Resolução

Foi dado que a sequência `(2, 5, ...)` é uma Progressão Aritmética, o que nos permite calcular a sua razão com os dois primeiros termos dados:

`r = 5-2=3`

Como precisamos obter a soma dos 20 primeiros termos, precisamos obter o 20º vigésimo termo. Da fórmula do termo geral (Aula 4):

`a_n=a_1+(n-1)r`

Usando para `n=20`, `a_1=2` e para `r=3`:

`a_20=2+(20-1)*3`

`a_20=2+(19)*3=59`

Então, temos `n=20`, `a_1=2`  e `a_20=59`.

`S_20= \frac{(a_1+a_20)*20}{2}`

`S_20= \frac{(2+59)*20}{2}= 610`

Resposta: a soma dos 20 primeiros termos é `610`.

Veja o ordinal correspondente ao cardinal



1. Estude mais um pouquinho sobre as regras de formação de Ordinais... Clique aqui

2. Veja a lista completa de Ordinais de 1 a 9.999.


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Exemplo 2


Dado que numa Progressão Aritmética o primeiro termo é 10 e o décimo primeiro termo é 120, obter `S_11`.


Resolução

Desejamos obter a soma dos 11 primeiros termos, `S_11`.

Então, temos `n=11`, `a_1=10`  e `a_11=120`.

`S_11= \frac{(a_1+a_11)*11}{2}`

`S_11= \frac{(10+120)*11}{2}= 715`

Resposta: a soma dos 11 primeiros termos é `715`.

Curso de Progressão Aritmética — Aula 5 de um total de 5 aulas

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Porcentagem

Duração do Curso:

10 Aulas

Nivel Escolar Mínimo:

Fundamental

Progressao Aritmética

Duração do Curso:

5 Aulas

Nivel Escolar Mínimo:

Ensino Médio