Professor Cardy

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FELIZ SOMA DOS CUBOS DOS NATURAIS DE 2 A 9:

23 + 33 + 43 + 53 + 63 + 73 + 83 + 93 = 2024

Quando temos uma Progressão Aritmética $${a_n}$$, isto ém cujos termos são $$a_1$$, $$a_2$$, $$a_3$$ até parar em um $$a_n$$ ( onde $$n$$ será o número de termos e também a posição final).

$${a_n} = (a_1, a_2, a_3, ... , a_n)$$

(a notação $${a_n}$$ indica o mesmo que $$(a_1, a_2, a_3, ... , a_n)$$)

Chamamos de Série a soma dos termos de uma Progressão. Por exemplo, $$a_1+ a_2 + a_3$$ é uma série porque é a soma dos termos de $$(a_1, a_2, a_3)$$.

Quando escrevemos $$S_n$$ nos referimos a uma série dos $$n$$ primeiros termos de uma Progressão.

$$S_n = a_1+ a_2+ a_3+ ... + a_n$$

A uma sequência pode ter, por exemplo, 20 termos ou até infinitos - mas quando escrevemos $$S_n$$ desejamos somar até o termo na posição $$n$$ (assim, a sequência precisa ter um número de termos igual ou superior ao referido $$n$$ da notação $$S_n$$.

Digamos que tenhamos $$(a_1, a_2, a_3, ... , a_n)$$

Para $$n=1$$ : $$S_1 = a_1$$.

Para $$n=2$$ : $$S_2 = a_1+ a_2$$.

Para $$n=3$$ : $$S_3 = a_1+ a_2+ a_3$$.

Soma dos $$n$$ Primeiros Termos de uma P.A.

$$S_n= \frac{(a_1+a_n)*n}{2}$$

Onde $$a_1$$ é o primeiro termo da P.A., $$a_1$$ o último termo da P.A. para somar, e $$n$$ o número de termos para somar.

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Exemplo 1


Obter a soma dos 20 primeiros termos da Progressão Aritmética $$(2, 5, ...)$$ .


Resolução

Foi dado que a sequência $$(2, 5, ...)$$ é uma Progressão Aritmética, o que nos permite calcular a sua razão com os dois primeiros termos dados:

$$r = 5-2=3$$

Como precisamos obter a soma dos 20 primeiros termos, precisamos obter o 20º vigésimo termo. Da fórmula do termo geral (Aula 4):

$$a_n=a_1+(n-1)r$$

Usando para $$n=20$$, $$a_1=2$$ e para $$r=3$$:

$$a_20=2+(20-1)*3$$

$$a_20=2+(19)*3=59$$

Então, temos $$n=20$$, $$a_1=2$$  e $$a_20=59$$.

$$S_20= \frac{(a_1+a_20)*20}{2}$$

$$S_20= \frac{(2+59)*20}{2}= 610$$

Resposta: a soma dos 20 primeiros termos é `610`.

Veja o ordinal correspondente ao cardinal



1. Estude mais um pouquinho sobre as regras de formação de Ordinais... Clique aqui

2. Veja a lista completa de Ordinais de 1 a 9.999.


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Exemplo 2


Dado que numa Progressão Aritmética o primeiro termo é 10 e o décimo primeiro termo é 120, obter $$S_11$$.


Resolução

Desejamos obter a soma dos 11 primeiros termos, $$S_11$$.

Então, temos $$n=11$$, $$a_1=10$$  e $$a_11=120$$.

$$S_11= \frac{(a_1+a_11)*11}{2}$$

$$S_11= \frac{(10+120)*11}{2}= 715$$

Resposta: a soma dos 11 primeiros termos é `715`.

Curso de Progressão Aritmética — Aula 5 de um total de 5 aulas

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