Quando uma sequência tem uma lei de formação conhecida podemos determinar qualquer um de seus termos. Sabemos aqui, pelo curso, que uma Progressão Aritmética tem essa lei de formação!
`a_n-a_{n-1}=r`
(a diferença entre dois termos consecutivos é constante)
Podemos rearrumar essa equação assim:
`a_n-a_{n-1}=r`
`a_n=r + a_{n-1}`
Então temos uma forma recorrente de obter o termo `a_n` conhecendo o seu termo anterios `a_{n-1}`.
Para `n=2` : Em `a_n=r + a_{n-1}` ficamos com `a_2=r + a_1`.
Para `n=3` : Em `a_n=r + a_{n-1}` vem `a_3=r + a_2`. Usando o resultado anterior para `a_2`: `a_3=r +( a_2)= r+(r + a_1)=2r+a_1` e ficamos com `a_3=2r+a_1`.
Para `n=4` : Em `a_n=r + a_{n-1}` vem `a_4=r + a_3`. Usando o resultado anterior para `a_3`: `a_4=r +( a_3)= r+(2r + a_1)=3r+a_1` e ficamos com `a_4=3r+a_1`.
Não é difícil perceber que a formação segue o padrão `a_n=(n-1)r+a_1`. Em destaque que:
Termo Geral de uma P.A.
`a_n=a_1+(n-1)r`
Onde `a_1` é o primeiro termo da P.A., `r` a sua razão aritmética e `n \in \NN^{**}`.
Exemplo 1
Obter o septigentésimo quinquagésimo segundo termo da Progressão Aritmética `(2, 5, ...)` .
Resolução
Foi dado que a sequência `(2, 5, ...)` é uma Progressão Aritmética, o que nos permite calcular a sua razão com os dois primeiros termos dados:
`r = 5-2=3`
Estamos procurando o septigentésimo quinquagésimo segundo termo (que tal dar uma olhada nos números ordinais CLIQUE AQUI), ou seja `a_752`. Da fórmula do termo geral :
`a_n=a_1+(n-1)r`
Usando para `n=752`, `a_1=2` e para `r=3`:
`a_752=2+(752-1)*3`
`a_752=2+(751)*3=2+2253=2255`
Resposta: o septigentésimo quinquagésimo segundo termo é `2255`.Algumas vezes vamos precisar conhecer o n-ésimo termo a partir de um termo parcial `a_p` que não seja o `a_1` (até pode ser o primeiro termo, mas a questão é não depender dele...).
O termo geral, já sabemos, é `a_n=a_1+(n-1)r`. O termo parcial `a_p` pode ser descrito como `a_p=a_1+(p-1)r` simplesmente trocando `n` por `p` na fórmula. Temos o seguinte sistema:
`{(a_n=a_1+(n-1)r),(a_p=a_1+(p-1)r) :}`
No sistema, podemos subtrair, membro a membro, as equações pois conseguiremos aliminar o termo `a_1`:
`\frac{ -{(a_n=a_1+(n-1)r),(a_p=a_1+(p-1)r) :} }{ a_n - a_p = a_1-a_1 +(n-1)r - (p-1)r}`
A equação ` a_n - a_p = a_1-a_1 +(n-1)r - (p-1)r` pode ser desenvolvida como segue:
`a_n - a_p = a_1-a_1 +(n-1)r - (p-1)r`
`a_n - a_p = (n-1)r - (p-1)r`
`a_n - a_p = nr - r- pr +r = nr - pr = (n-p)r`
`a_n = a_p + (n-p)r`
Nessa forma de termo geral, não dependemos mais do termo `a_1`. Se não desejar depender do primeiro termo, você também pode usar a fórmula do termo geral como segue:Termo Geral de uma P.A.
`a_n = a_p + (n-p)r`
Onde `a_p` é o termo da P.A. na posição `p`, com `(1 <= p <= n)`, `r` a sua razão aritmética e `n,p \in \NN^{**}`.
Exemplo 2
Dado que numa Progressão Aritmética o quinto termo é 10 e o vigésimo termo é 120, obter a sua razão.
Resolução
Foi dada da P.A que `a_5=10` e `a_20=120`, em `a_n = a_p + (n-p)r` fazendo as substituições nos locais apropriados:
`a_20 = a_5 + (120-5)r`
`120 = 10 + 115r`
`120 - 10 = 115r`
`110 = 115r`
`110/115 = r`
` r = 110/115 = 22/23`
Resposta: a razão da P.A é `22/23`.
Curso de Progressão Aritmética — Aula 4 de um total de 5 aulas
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