Professor Cardy

web
statistics

FELIZ SOMA DOS CUBOS DOS NATURAIS DE 2 A 9:

23 + 33 + 43 + 53 + 63 + 73 + 83 + 93 = 2024

Quando uma sequência tem uma lei de formação conhecida podemos determinar qualquer um de seus termos. Sabemos aqui, pelo curso, que uma Progressão Aritmética tem essa lei de formação!

$$a_n-a_{n-1}=r$$

(a diferença entre dois termos consecutivos é constante)

Podemos rearrumar essa equação assim:

$$a_n-a_{n-1}=r$$

$$a_n=r + a_{n-1}$$

Então temos uma forma recorrente de obter o termo $$a_n$$ conhecendo o seu termo anterios $$a_{n-1}$$.

Para $$n=2$$ : Em $$a_n=r + a_{n-1}$$ ficamos com $$a_2=r + a_1$$.

Para $$n=3$$ : Em $$a_n=r + a_{n-1}$$ vem $$a_3=r + a_2$$. Usando o resultado anterior para $$a_2$$: $$a_3=r +( a_2)= r+(r + a_1)=2r+a_1$$ e ficamos com $$a_3=2r+a_1$$.

Para $$n=4$$ : Em $$a_n=r + a_{n-1}$$ vem $$a_4=r + a_3$$. Usando o resultado anterior para $$a_3$$: $$a_4=r +( a_3)= r+(2r + a_1)=3r+a_1$$ e ficamos com $$a_4=3r+a_1$$.

Não é difícil perceber que a formação segue o padrão $$a_n=(n-1)r+a_1$$. Em destaque que:

Termo Geral de uma P.A.

$$a_n=a_1+(n-1)r$$

Onde $$a_1$$ é o primeiro termo da P.A., $$r$$ a sua razão aritmética e $$n \in \NN^{**}$$.

1

Exemplo 1


Obter o septigentésimo quinquagésimo segundo termo da Progressão Aritmética $$(2, 5, ...)$$ .


Resolução

Foi dado que a sequência $$(2, 5, ...)$$ é uma Progressão Aritmética, o que nos permite calcular a sua razão com os dois primeiros termos dados:

$$r = 5-2=3$$

Estamos procurando o septigentésimo quinquagésimo segundo termo (que tal dar uma olhada nos números ordinais CLIQUE AQUI), ou seja $$a_752$$. Da fórmula do termo geral :

$$a_n=a_1+(n-1)r$$

Usando para $$n=752$$, $$a_1=2$$ e para $$r=3$$:

$$a_752=2+(752-1)*3$$

$$a_752=2+(751)*3=2+2253=2255$$

Resposta: o septigentésimo quinquagésimo segundo termo é `2255`.

Algumas vezes vamos precisar conhecer o n-ésimo termo a partir de um termo parcial $$a_p$$ que não seja o $$a_1$$ (até pode ser o primeiro termo, mas a questão é não depender dele...).

O termo geral, já sabemos, é $$a_n=a_1+(n-1)r$$. O termo parcial $$a_p$$ pode ser descrito como $$a_p=a_1+(p-1)r$$ simplesmente trocando $$n$$ por $$p$$ na fórmula. Temos o seguinte sistema:

$${(a_n=a_1+(n-1)r),(a_p=a_1+(p-1)r) :}$$

No sistema, podemos subtrair, membro a membro, as equações pois conseguiremos aliminar o termo $$a_1$$:

$$\frac{ -{(a_n=a_1+(n-1)r),(a_p=a_1+(p-1)r) :} }{ a_n - a_p = a_1-a_1 +(n-1)r - (p-1)r}$$

A equação $$ a_n - a_p = a_1-a_1 +(n-1)r - (p-1)r$$ pode ser desenvolvida como segue:

$$a_n - a_p = a_1-a_1 +(n-1)r - (p-1)r$$

$$a_n - a_p = (n-1)r - (p-1)r$$

$$a_n - a_p = nr - r- pr +r = nr - pr = (n-p)r$$

$$a_n = a_p + (n-p)r$$

Nessa forma de termo geral, não dependemos mais do termo `a_1`. Se não desejar depender do primeiro termo, você também pode usar a fórmula do termo geral como segue:

Termo Geral de uma P.A.

$$a_n = a_p + (n-p)r$$

Onde $$a_p$$ é o termo da P.A. na posição $$p$$, com $$(1 <= p <= n)$$, $$r$$ a sua razão aritmética e $$n,p \in \NN^{**}$$.


2

Exemplo 2


Dado que numa Progressão Aritmética o quinto termo é 10 e o vigésimo termo é 120, obter a sua razão.


Resolução

Foi dada da P.A que $$a_5=10$$ e $$a_20=120$$, em $$a_n = a_p + (n-p)r$$ fazendo as substituições nos locais apropriados:

$$a_20 = a_5 + (120-5)r$$

$$120 = 10 + 115r$$

$$120 - 10 = 115r$$

$$110 = 115r$$

$$110/115 = r$$

$$ r = 110/115 = 22/23$$

Resposta: a razão da P.A é $$22/23$$.

Curso de Progressão Aritmética — Aula 4 de um total de 5 aulas

Clique aqui para voltar para a timeline do curso ou vá rapidinho para a Aula 5 (Soma dos Primeiros Termos) clicando aqui. Você pode twitar e lembrar de onde parou:

Você pode fazer agora uma pequena lista de exercícios de fixação sobre essa aula. Clique Aqui