A3 — Progressão Aritmética, Notação

Desde a nossa primeira aula de Progressão Aritmética estamos usando a notação padrão que serve, na verdade, para qualquer tipo de sequência. Abrimos um parêntese, listamos os termos na ordem desejada, separando-os um do outro por uma vírgula e encerrando a listagem ordenada com o parêntese de fechamento: $$( \text{termo 1}, \text{termo 2}, \text{termo 3}, \text{termo 4} )$$.

Entretanto, podemos ter uma sequência com muitos termos ou com termos indicados por uma regra de formação ou simplesmente por outra vontade de indicação que esse formato de registro acaba sendo insuficiente.

É como foi feito até agora: exibindo a lista ordenada $$( \text{termo 1}, \text{termo 2}, \text{termo 3}, \text{termo 4}, ...)$$.

Outro exemplos, a sequência $$(a, b, c, d)$$ tem pouquinhos termos, apenas 4. Nada impede que você use letras quaisquer, na ordem que você achar melhor! Se desejar registrar algum dia algo como $$(b, l, a, h)$$ tudo bem! Mas depois não se esqueça a posição de cada letra nessa sua sequência. Destaco que o problema é, às vezes, a sequência ter muitos termos e pode faltar letra!

Numa particular sequência, que tal usar APENAS UMA!? É possível?

Sim! Usamos um elemento literal (a letra escolhida) subscrito por um índice $$n$$, como em $$a_n$$. É bom usar a mesma letra para representar todos os elementos da sequência. Sobre o índice, usando os números naturais, em ordem (e sem pular), o índice vai corresponder à posição que o termo possui.

Precisa tomar um cuidado com a escolha do primeiro índice. Tem pessoas que preferem usar o início como $$0$$ (zero) e tem gente que prefere usar o primeiro termo como $$1$$ mesmo.

Nesse último exemplo, $$(b_1, b_2, b_3, ...)$$ a notação literal com índice ajuda muito. Veja que como tem infinitos termos, podemos indicar qualquer um deles sem precisar anotar toda a listagem até chegar nele. Por exemplo, o vigésimo termo é $$b_{20}$$. Simples assim!

Eu particularmente prefiro indicar as sequências com índice $$1$$ para que a correspondência seja mais elementar $$b_1$$ primeiro, $$b_2$$ segundo, etc. Quando você encontrar pela frente sequências iniciadas com índice $$0$$ (zero) tome cuidado em relação a posição que aquele elemento ocupa. Por exemplo, em $$(v_0, v_1, ...)$$ o vigésimo termo não é $$v_{20}$$, mas sim $$v_{19}$$ porque se iniciou em $$v_0$$.

Tem hora que falar em velocidade inicial $$v_0$$, Capital Inicial, $$C_0$$, etc. pode justificar a preferência por começar pelo índice 0 (zero). A menos que esteja escrito o contrário, aqui no meu site, eu sempre vou começar com índice $$1$$. Ok? Veja como fica melhor:

Entenda aqui por Lei o mesmo que ser uma Fórmula ou uma Regra. Esta Lei pode ser regida:

1. De modo DIRETO, através do seu Termo Geral.

Explicando por uso de exemplos vai ajudar. Digamos que estejamos lendo um problema sobre sequências e conste algo assim $$a_n = 2n$$ (esta é a Lei). O índice $$n$$ começa por $$1$$ (eu escrevi isso antes, "A menos que esteja escrito o contrário, eu sempre vou começar com índice $$1$$. Ok?"). Enfim, o índice DEVE variar pelos números naturais, em ordem crescente. Fica assim:

Para $$n=1$$ : $$a_1 = 2*1=2$$. Assim, $$a_1=2$$.

Para $$n=2$$ : $$a_2 = 2*2=4$$. Assim, $$a_2=4$$.

Para $$n=3$$ : $$a_3 = 2*3=6$$. Assim, $$a_3=6$$.

O registro da Lei $$a_n = 2n$$, de modo sucinto, representa o Termo Geral da sequência. Com base no Termo Geral podemos expandir a sequência termo a termo, de forma explícita: $$(2, 4, 6, ...)$$.

Observação: Você pode ler $$a_n$$ como n-ésimo termo.

2. De modo INDIRETO (ou RECURSIVO, RECORRENTE), através de uma ou várias regras. Vai dar um pouco mais de trabalho, mas às vezes é a única saída para explicar sequências mais sofisticadas.

Se registramos assim, "... dada a sequência $$a_n$$, onde $$a_1=1$$, $$a_2=1$$ e para o natual $$n>=3$$ tem-se $$a_n= a_{n-1} + a_{n-2}$$ ..." o texto nos oferece, com bastante clareza os seus dois primeiros termos $$(1, 1, ...)$$ — a partir do terceiro termo foi apresentada uma Fórmula Recursiva, uma equação que fornece novos termos recorrendo a outros.

Para $$n$$ : temos um termo $$a_n$$ numa posição $$n$$. Como disse a restrição para o natual $$n>=3$$ — assim a posição $$n$$ é de qualquer termo, a partir do terceiro termo.

Para $$n-1$$ : temos um termo $$a_{n-1}$$ numa posição $$n -1 $$. Ou seja, o termo $$a_{n-1}$$ ocupa uma posição imediatamente anterior ao termo de posição $$a_n$$.

Para $$n-2$$ : temos um termo $$a_{n-2}$$ numa posição $$n -2 $$. Ou seja, o termo $$a_{n-2}$$ ocupa duas posições imediatamente anteriores ao termo de posição $$a_n$$. Ou, de outro modo, ocupa uma posição imediatamente anterior ao termo de posição $$a_{n-2}$$

A regra recursiva $$a_n= a_{n-1} + a_{n-2}$$ nos diz que $$a_n$$ é a soma dos seus dois termos anteriores. A sequência seria $$(1, 1,2, 3, 5, 8, 13, ...)$$ — essa sequência é conhecida como Sequência de Fibonacci. Você terá um exercício na lista sobre isso para resolver mais tarde (ou não! você quer fazer agora - clique aqui)

Sequências recursivas não são NADA básico! Porém, dá para encarar.