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Uma Progressão Aritmética (P.A.) pode ser classificada em relação ao seu número de termos e também em relação ao comportamento dos termos ao longo da sequência.

Em relação ao número de termos

É toda progressão que existe o último termo. As progressões finitas tem, claro, um número finito de termos. Isso quer dizer que a sequência tem um termo final e um número total certo de termos. Normalmente indicamos pelo número de termos a variável `n` para representar a quantidade de termos desse tipo de progressão.
É toda progressão que não existe termo final. Isto é o mesmo que dizer que a sequência não acaba - dado qualquer um dos seus termos, sempre teremos outro consecutivo a ele (que vem depois dele).

Em relação ao comportamento dos termos

Uma progressão constante (ou estacionária) todos os seus termos tem o mesmo valor. Uma outra forma de dizer isso é "dado um termo qualquer, sempre o próximo tem o mesmo valor.
Uma progressão crescente tem o comportamento de que todos os seus termos tem valores que sucessivamente aumentam. Uma outra forma de dizer isso é "dado um termo qualquer, o sempre próximo tem valor maior.
Uma progressão decrescente tem o comportamento de que todos os seus termos tem valores que sucessivamente diminuem. Uma outra forma de dizer isso é "dado um termo qualquer, sempre o próximo tem valor menor.

Sobre o número de termos

Podemos exibir as progressões aritméticas finitas usando a notação usual para sequências < os termos entre parenteses, separados por vírgulas > onde TODOS os termos são apontados. Contudo isso nem sempre é possível porque a progressão pode ser finita e ter muitos termos, o que dificultaria a exposição - veja mais sobre isso nos exemplos.

Aprenda!

Progressão finita: `(2, 4, 6, 8)` tem 4 termos. O último termo é `8`.

Progressão finita: `(2, 4, 6, 8, 10, 12)` tem 6 termos. O último termo é `12`.

As progressões infinitas, normalmente, se indicam pelo registro das reticências ... no final da notação, antes de encerrar o parentese final.

Aprenda!

Progressão infinita: `(2, 4, 6, 8, ...)` tem infinitos termos. Não temos termo final.

Progressão infinita: `(2, 4, 6, 8, 10, 12, ...)` tem infinitos termos. Não temos termo final.

Cardica:

TODAS as progressões tem PRIMEIRO TERMO.

As progressões finitas tem também ÚLTIMO TERMO.

As progressões infinitas não tem ÚLTIMO TERMO.



Sobre o comportamento dos termos

Mais tarde, espero que antes do final do curso, você entenda que os dois últimos exemplos de progressões infinitas, na verdade, representam A MESMA progressão - apesar de uma das suas representações ter apenas mais termos expostos do que a outra. Na aula 3 trataremos mais sobre isso.

Sobre o comportamento dos termos, vou usar também um recurso gráfico e bem visual para você entender ainda mais!

Progressão constante: `(400, 400, 400, 400, 400, 400, 400 )` tem 7 termos, portanto é finita. Dado um termo qualquer, o próximo tem o valor igual. Digamos que essa sequência represente o preço, em dólares, de um modelo de iPod ao longo dos anos a partir de 2008.

Progressão crescente: `(200, 210, 220, 230, 240, 250, 260 )` tem 7 termos, portanto é finita. Dado um termo qualquer, o próximo tem valor maior. Digamos que essa sequência represente o preço, em dólares, de um modelo de iPhone ao longo dos anos a partir de 2008.

Progressão decrescente: `(300, 280, 260, 240, 220, 200, 180)` tem 7 termos, portanto é finita. Dado um termo qualquer, o próximo tem valor menor. Digamos que essa sequência represente o preço, em dólares, de um modelo de iPad ao longo dos anos a partir de 2008..

Valores dos produtos iPhone, iPod e iPad ao longo dos anos*

* valores fictícios, apenas para exemplificar o comportamento das progressões.

1

Exemplo 1


Determine a razão da Progressão Aritmética `(2, 4, 6, ...)` e a classifique em relação ao comportamento dos termos.


Resolução


Para obtermos a razão r desta P.A. podemos calcular a diferença entre quaisquer termos consecutivos, por exemplo, `r=4-2=2`.

Portanto a razão da Progressão Aritmética é `2`. Repare que como a razão é um número positivo ` r > 0` podemos concluir que todos os termos subsequentes sempre terão um termo maior sendo subtraído do seu termo anterior que será menor. Assim, essa P.A. é crescente.

Com base nessa ideia e ampliando-a, você pode usar como dica:

Cardica:

Sempre que `r>0` a Progressão Aritmética será crescente.

Sempre que `r<0` a Progressão Aritmética será decrescente.

Sempre que `r=0` a Progressão Aritmética será constante.


2

Exemplo 2


Determine o valor de `x` para que a sequência `(x^2, 5x-6, x^2)` seja uma Progressão Aritmética constante e determine a sua razão.


Resolução


Para que seja uma progressão constante, todos os termos precisam ser iguais `x^2=5x-6 = x^2` - ou seja:

`x^2=5x-6`

`x^2-5x+6=0`

Resolvendo essa Equação Quadrática (clique aqui), chegamos em `x=3` ou `x=2`. Em ambos os casos teremos uma P.A. constante, a saber:

Para `x=3` a P.A. é `(9, 9, 9)`.

Para `x=2` a P.A. é `(4, 4, 4)`.

Como já foi registrado no finalzinho do exemplo 1, mas vou destacar aqui novamente, quando temos uma P.A. constante a sua razão sempre será zero - simplesmente porque como todos os termos são iguais, logo, a diferença entre eles será zero.

Para `x=3` a P.A. é `(9, 9, 9)` a razão é 0. `r= 9-9=0`

Para `x=2` a P.A. é `(4, 4, 4)` a razão é 0. `r= 4-4=0`

 

Curso de Progressão Aritmética — Aula 2 de um total de 5 aulas

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Porcentagem

Duração do Curso:

10 Aulas

Nivel Escolar Mínimo:

Fundamental

Progressao Aritmética

Duração do Curso:

5 Aulas

Nivel Escolar Mínimo:

Ensino Médio