Definição
Uma função `P: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}` com:
`P(x) = a_n*x^n + a_(n-1)*x^(n-1) + ... + a_2*x^2 + a_1*x^1 + a_0`
é uma função polinomial de grau `n` exclusivamente para `a_n !=0`.
A dica importante que será trabalhada aqui é que em um polinômio `P(x)` a soma dos coeficientes sempre corresponde ao `P(1)`. Ou seja, basta usar que `x=1` em `P(x)` que teremos a soma dos seus coeficientes.
De fato, veja:
`P(x) = a_n*x^n + a_(n-1)*x^(n-1) + ... + a_2*x^2 + a_1*x^1 + a_0`
Fazendo `x=1`:
`P(1) = a_n*1^n + a_(n-1)*1^(n-1) + ... + a_2*1^2 + a_1*1^1 + a_0`
`P(1) = a_n*1 + a_(n-1)*1 + ... + a_2*1 + a_1*1 + a_0`
Como `1` é neutro na multiplicação...
`P(1) = a_n + a_(n-1) + ... + a_2 + a_1 + a_0`
Exemplo 1
Obter a soma dos coeficientes de `p(x) = 4*x^2 + x^3 -9`.
Resolução
Basta calcular `p(1)`.
`p(1) =4*1^2 + 1^3 -9= 4*1 + 1 -9=4+1-9=-4`
A soma dos coeficientes de `p(x) = 4*x^2 + x^3 -9` é `-4`
Repare que:
O coeficiente de `x^3` é `1`.
O coeficiente de `x^2` é `4`.
O coeficiente independente ou termo independente é `-9`.
Conferindo: `1+4+(-9)=-4`.
Exemplo 2
Obter a soma dos coeficientes de `p(x) = (x-4)(x+1)(x-1) + 3`.
Resolução
Basta calcular `p(1)`. Não precisamos desenvolver (distribuir) os termos presentes em `(x-4)(x+1)(x-1) + 3`.
`p(1) = (1-4)(1+1)(1-1) + 3=(-3)(2)(0) + 3=3`
A soma dos coeficientes de `p(x) = (x-4)(x+1)(x-1) + 3` é `3`.
É mais fácil obter a soma dos coeficientes fazendo `p(1)` no exemplo anterior do que efetuar `(x-4)(x+1)(x-1) + 3` e determinar, depois de várias contas, que :
`(x-4)(x+1)(x-1) + 3 = x^3-4x^2-x+7`
E somar os coeficientes `1-4-1+7=3`.