Professor Cardy

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Definição

Uma função $$P: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$$ com:

$$P(x) = a_n*x^n + a_(n-1)*x^(n-1) + ... + a_2*x^2 + a_1*x^1 + a_0$$

é uma função polinomial de grau $$n$$ exclusivamente para $$a_n !=0$$.

A dica importante que será trabalhada aqui é que em um polinômio $$P(x)$$ a soma dos coeficientes sempre corresponde ao $$P(1)$$. Ou seja, basta usar que $$x=1$$ em $$P(x)$$ que teremos a soma dos seus coeficientes.

De fato, veja:

$$P(x) = a_n*x^n + a_(n-1)*x^(n-1) + ... + a_2*x^2 + a_1*x^1 + a_0$$

Fazendo $$x=1$$:

$$P(1) = a_n*1^n + a_(n-1)*1^(n-1) + ... + a_2*1^2 + a_1*1^1 + a_0$$

$$P(1) = a_n*1 + a_(n-1)*1 + ... + a_2*1 + a_1*1 + a_0$$

Como $$1$$ é neutro na multiplicação...

$$P(1) = a_n + a_(n-1) + ... + a_2 + a_1 + a_0$$

1

Exemplo 1


Obter a soma dos coeficientes de $$p(x) = 4*x^2 + x^3 -9$$.


Resolução


Basta calcular $$p(1)$$.

$$p(1) =4*1^2 + 1^3 -9= 4*1 + 1 -9=4+1-9=-4$$

A soma dos coeficientes de $$p(x) = 4*x^2 + x^3 -9$$ é $$-4$$


Repare que:

O coeficiente de $$x^3$$ é $$1$$.

O coeficiente de $$x^2$$ é $$4$$.

O coeficiente independente ou termo independente é $$-9$$.

Conferindo: $$1+4+(-9)=-4$$.

2

Exemplo 2


Obter a soma dos coeficientes de $$p(x) = (x-4)(x+1)(x-1) + 3$$.


Resolução


Basta calcular $$p(1)$$. Não precisamos desenvolver (distribuir) os termos presentes em $$(x-4)(x+1)(x-1) + 3$$.

$$p(1) = (1-4)(1+1)(1-1) + 3=(-3)(2)(0) + 3=3$$

A soma dos coeficientes de $$p(x) = (x-4)(x+1)(x-1) + 3$$ é $$3$$.

É mais fácil obter a soma dos coeficientes fazendo $$p(1)$$ no exemplo anterior do que efetuar $$(x-4)(x+1)(x-1) + 3$$ e determinar, depois de várias contas, que :

$$(x-4)(x+1)(x-1) + 3 = x^3-4x^2-x+7$$

E somar os coeficientes $$1-4-1+7=3$$.