web
statistics
views


Definição

Uma função `P: \RR \rightarrow \RR` com:

`P(x) = a_n*x^n + a_(n-1)*x^(n-1) + ... + a_2*x^2 + a_1*x^1 + a_0`

é uma função polinomial de grau `n` exclusivamente para `a_n !=0`.

A dica importante que será trabalhada aqui é que em um polinômio `P(x)` a soma dos coeficientes sempre corresponde ao `P(1)`. Ou seja, basta usar que `x=1` em `P(x)` que teremos a soma dos seus coeficientes.

De fato, veja:

`P(x) = a_n*x^n + a_(n-1)*x^(n-1) + ... + a_2*x^2 + a_1*x^1 + a_0`

Fazendo `x=1`:

`P(1) = a_n*1^n + a_(n-1)*1^(n-1) + ... + a_2*1^2 + a_1*1^1 + a_0`

`P(1) = a_n*1 + a_(n-1)*1 + ... + a_2*1 + a_1*1 + a_0`

Como `1` é neutro na multiplicação...

`P(1) = a_n + a_(n-1) + ... + a_2 + a_1 + a_0`

1

Exemplo 1


Obter a soma dos coeficientes de `p(x) = 4*x^2 + x^3 -9`.


Resolução


Basta calcular `p(1)`.

`p(1) =4*1^2 + 1^3 -9= 4*1 + 1 -9=4+1-9=-4`

A soma dos coeficientes de `p(x) = 4*x^2 + x^3 -9` é `-4`


Repare que:

O coeficiente de `x^3` é `1`.

O coeficiente de `x^2` é `4`.

O coeficiente independente ou termo independente é `-9`.

Conferindo: `1+4+(-9)=-4`.

2

Exemplo 2


Obter a soma dos coeficientes de `p(x) = (x-4)(x+1)(x-1) + 3`.


Resolução


Basta calcular `p(1)`. Não precisamos desenvolver (distribuir) os termos presentes em `(x-4)(x+1)(x-1) + 3`.

`p(1) = (1-4)(1+1)(1-1) + 3=(-3)(2)(0) + 3=3`

A soma dos coeficientes de `p(x) = (x-4)(x+1)(x-1) + 3` é `3`.

É mais fácil obter a soma dos coeficientes fazendo `p(1)` no exemplo anterior do que efetuar `(x-4)(x+1)(x-1) + 3` e determinar, depois de várias contas, que :

`(x-4)(x+1)(x-1) + 3 = x^3-4x^2-x+7`

E somar os coeficientes `1-4-1+7=3`.

Confira estes artigos incríveis!


Comente

São mais de 50.000 páginas de conteúdo. Não acompanho os diálogos a seguir - por isso, caso você ache alguma pergunta feita pelos usuários e queira contribuir, por favor, deixe o seu parecer - que irá enriquecer o material.