Professor Cardy

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Definição

Uma função $$f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$$ com:

$$f(x) = a_n*x^n + a_(n-1)*x^(n-1) + ... + a_2*x^2 + a_1*x^1 + a_0$$

é uma função polinomial de grau $$n$$ exclusivamente para $$a_n !=0$$.

Atenção

Aqui serão considerados apenas coeficentes reais, ou seja, os $$a_n, a_(n-1),a_(n-2), ... , a_2, a_1$$ e $$a_0$$ são todos números reais.

Em casos em que se sabe as coordenadas de $$n + 1$$ pontos distintos do gráfico de $$f(x)$$, uma função polinomial de grau $$n$$, podemos montar $$n + 1$$ equações num sistema e resolvê-lo.

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Exemplo 1


Dado que o gráfico uma função do primeiro grau, cujo gráfico passa pelos pontos $$(1, 2)$$ e $$(2, 4)$$, obter $$f(x) = ax + b$$.


Resolução


A função polinomial $$f$$ é do 1º Grau. Conhecendo as coordenadas de dois pontos distintos de seu gráfico, podemos determinar os coeficientes $$a$$ e $$b$$.

Como $$(1,2)$$ pertence ao gráfico de $$f(x)$$, então $$f(1)=2$$. Como $$f(x) = ax+b$$, então, $$f(1) = a*1+b=2$$. Assim $$a*1+b=2$$.

Como $$(2,4)$$ pertence ao gráfico de $$f(x)$$, então $$f(2)=4$$. Como $$f(x) = ax+b$$, então, $$f(2) = a*2+b=4$$. Assim $$a*2+b=4$$.

Como

$${(a*1+b=2),(a*2+b=4):}$$

Ou seja,

$${(a+b=2),(2a+b=4):}$$

Resolvendo este sistema, chegamos em $$a=2$$ e $$b=0$$. Portanto, $$f(x)=2x+0=2x$$.


Um outro problema pode ser: mas e se não tivermos $$n + 1$$ pontos do gráfico com coordenadas conhecidas?

Sempre que você tiver todas as raízes (reais ou não) de uma função polinomial e mais um ponto do seu gráfico fora do eixo Ox, use a forma fatorada da função!

Uma função polinomial de grau $$n$$ $$f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$$ com:

$$f(x) = a_n*x^n + a_(n-1)*x^(n-1) + ... + a_2*x^2 + a_1*x^1 + a_0$$

com $$a_n !=0$$, sempre admite a forma fatorada:

$$f(x) = a_n(x - x_n)*(x - x_(n-1))*(x - x_(n-2))* ... *(x - x_2)*(x- x_1)$$

Cada fator $$(x- x_n)$$ tem correspondente a raiz $$x_n$$, pois $$f(x_n)=(x_n-x_n)=0$$. Leia também sobre multiplicidade de uma raiz.

Assim, o ponto de cruzamento do gráfico de um polinômio com o eixo das ordenadas é $$(0, P(0))$$.

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Exemplo 2


Determinar o polinômio$$p(x) = a(x-3)(x+2)$$, sabendo que $$p(0) = 2$$.


Resolução


Temos que $$p(x) = a(x - 3)(x + 2)$$e sabemos que $$p(0)=2$$.

Assim, $$p(0) = a(0 - 3)(0+2)=a*(-3)*2=-6a$$. Como $$p(0)=2$$, então $$-6a=2$$ ou seja $$a=-1/3$$.

Portanto, $$p(x) = -\frac{1}{3}(x-3)(x+2)$$.