Definição
Uma função $$f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$$ com:
$$f(x) = a_n*x^n + a_(n-1)*x^(n-1) + ... + a_2*x^2 + a_1*x^1 + a_0$$
é uma função polinomial de grau $$n$$ exclusivamente para $$a_n !=0$$.
Atenção
Aqui serão considerados apenas coeficentes reais, ou seja, os $$a_n, a_(n-1),a_(n-2), ... , a_2, a_1$$ e $$a_0$$ são todos números reais.
Em casos em que se sabe as coordenadas de $$n + 1$$ pontos distintos do gráfico de $$f(x)$$, uma função polinomial de grau $$n$$, podemos montar $$n + 1$$ equações num sistema e resolvê-lo.
Exemplo 1
Dado que o gráfico uma função do primeiro grau, cujo gráfico passa pelos pontos $$(1, 2)$$ e $$(2, 4)$$, obter $$f(x) = ax + b$$.
Resolução
A função polinomial $$f$$ é do 1º Grau. Conhecendo as coordenadas de dois pontos distintos de seu gráfico, podemos determinar os coeficientes $$a$$ e $$b$$.
Como $$(1,2)$$ pertence ao gráfico de $$f(x)$$, então $$f(1)=2$$. Como $$f(x) = ax+b$$, então, $$f(1) = a*1+b=2$$. Assim $$a*1+b=2$$.
Como $$(2,4)$$ pertence ao gráfico de $$f(x)$$, então $$f(2)=4$$. Como $$f(x) = ax+b$$, então, $$f(2) = a*2+b=4$$. Assim $$a*2+b=4$$.
Como
$${(a*1+b=2),(a*2+b=4):}$$
Ou seja,
$${(a+b=2),(2a+b=4):}$$
Resolvendo este sistema, chegamos em $$a=2$$ e $$b=0$$. Portanto, $$f(x)=2x+0=2x$$.
Um outro problema pode ser: mas e se não tivermos $$n + 1$$ pontos do gráfico com coordenadas conhecidas?
Sempre que você tiver todas as raízes (reais ou não) de uma função polinomial e mais um ponto do seu gráfico fora do eixo Ox, use a forma fatorada da função!
Uma função polinomial de grau $$n$$ $$f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$$ com:
$$f(x) = a_n*x^n + a_(n-1)*x^(n-1) + ... + a_2*x^2 + a_1*x^1 + a_0$$
com $$a_n !=0$$, sempre admite a forma fatorada:
$$f(x) = a_n(x - x_n)*(x - x_(n-1))*(x - x_(n-2))* ... *(x - x_2)*(x- x_1)$$
Cada fator $$(x- x_n)$$ tem correspondente a raiz $$x_n$$, pois $$f(x_n)=(x_n-x_n)=0$$. Leia também sobre multiplicidade de uma raiz.
Assim, o ponto de cruzamento do gráfico de um polinômio com o eixo das ordenadas é $$(0, P(0))$$.
Exemplo 2
Determinar o polinômio$$p(x) = a(x-3)(x+2)$$, sabendo que $$p(0) = 2$$.
Resolução
Temos que $$p(x) = a(x - 3)(x + 2)$$e sabemos que $$p(0)=2$$.
Assim, $$p(0) = a(0 - 3)(0+2)=a*(-3)*2=-6a$$. Como $$p(0)=2$$, então $$-6a=2$$ ou seja $$a=-1/3$$.
Portanto, $$p(x) = -\frac{1}{3}(x-3)(x+2)$$.