Definição
Uma função `f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}` com:
`f(x) = a_n*x^n + a_(n-1)*x^(n-1) + ... + a_2*x^2 + a_1*x^1 + a_0`
é uma função polinomial de grau `n` exclusivamente para `a_n !=0`.
Atenção
Aqui serão considerados apenas coeficentes reais, ou seja, os `a_n, a_(n-1),a_(n-2), ... , a_2, a_1` e `a_0` são todos números reais.
Em casos em que se sabe as coordenadas de `n + 1` pontos distintos do gráfico de `f(x)`, uma função polinomial de grau `n`, podemos montar `n + 1` equações num sistema e resolvê-lo.
Exemplo 1
Dado que o gráfico uma função do primeiro grau, cujo gráfico passa pelos pontos `(1, 2)` e `(2, 4)`, obter `f(x) = ax + b`.
Resolução
A função polinomial `f` é do 1º Grau. Conhecendo as coordenadas de dois pontos distintos de seu gráfico, podemos determinar os coeficientes `a` e `b`.
Como `(1,2)` pertence ao gráfico de `f(x)`, então `f(1)=2`. Como `f(x) = ax+b`, então, `f(1) = a*1+b=2`. Assim `a*1+b=2`.
Como `(2,4)` pertence ao gráfico de `f(x)`, então `f(2)=4`. Como `f(x) = ax+b`, então, `f(2) = a*2+b=4`. Assim `a*2+b=4`.
Como
`{(a*1+b=2),(a*2+b=4):}`
Ou seja,
`{(a+b=2),(2a+b=4):}`
Resolvendo este sistema, chegamos em `a=2` e `b=0`. Portanto, `f(x)=2x+0=2x`.
Um outro problema pode ser: mas e se não tivermos `n + 1` pontos do gráfico com coordenadas conhecidas?
Sempre que você tiver todas as raízes (reais ou não) de uma função polinomial e mais um ponto do seu gráfico fora do eixo Ox, use a forma fatorada da função!
Uma função polinomial de grau `n` `f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}` com:
`f(x) = a_n*x^n + a_(n-1)*x^(n-1) + ... + a_2*x^2 + a_1*x^1 + a_0`
com `a_n !=0`, sempre admite a forma fatorada:
`f(x) = a_n(x - x_n)*(x - x_(n-1))*(x - x_(n-2))* ... *(x - x_2)*(x- x_1)`
Cada fator `(x- x_n)` tem correspondente a raiz `x_n`, pois `f(x_n)=(x_n-x_n)=0`. Leia também sobre multiplicidade de uma raiz.
Assim, o ponto de cruzamento do gráfico de um polinômio com o eixo das ordenadas é `(0, P(0))`.
Exemplo 2
Determinar o polinômio`p(x) = a(x-3)(x+2)`, sabendo que `p(0) = 2`.
Resolução
Temos que `p(x) = a(x - 3)(x + 2)`e sabemos que `p(0)=2`.
Assim, `p(0) = a(0 - 3)(0+2)=a*(-3)*2=-6a`. Como `p(0)=2`, então `-6a=2` ou seja `a=-1/3`.
Portanto, `p(x) = -\frac{1}{3}(x-3)(x+2)`.