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Definição

Uma função `f: \RR \rightarrow \RR` com:

`f(x) = a_n*x^n + a_(n-1)*x^(n-1) + ... + a_2*x^2 + a_1*x^1 + a_0`

é uma função polinomial de grau `n` exclusivamente para `a_n !=0`.

Atenção

Aqui serão considerados apenas coeficentes reais, ou seja, os `a_n, a_(n-1),a_(n-2), ... , a_2, a_1` e `a_0` são todos números reais.

Em casos em que se sabe as coordenadas de `n + 1` pontos distintos do gráfico de `f(x)`, uma função polinomial de grau `n`, podemos montar `n + 1` equações num sistema e resolvê-lo.

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Exemplo 1


Dado que o gráfico uma função do primeiro grau, cujo gráfico passa pelos pontos `(1, 2)` e `(2, 4)`, obter `f(x) = ax + b`.


Resolução


A função polinomial `f` é do 1º Grau. Conhecendo as coordenadas de dois pontos distintos de seu gráfico, podemos determinar os coeficientes `a` e `b`.

Como `(1,2)` pertence ao gráfico de `f(x)`, então `f(1)=2`. Como `f(x) = ax+b`, então, `f(1) = a*1+b=2`. Assim `a*1+b=2`.

Como `(2,4)` pertence ao gráfico de `f(x)`, então `f(2)=4`. Como `f(x) = ax+b`, então, `f(2) = a*2+b=4`. Assim `a*2+b=4`.

Como

`{(a*1+b=2),(a*2+b=4):}`

Ou seja,

`{(a+b=2),(2a+b=4):}`

Resolvendo este sistema, chegamos em `a=2` e `b=0`. Portanto, `f(x)=2x+0=2x`.


Um outro problema pode ser: mas e se não tivermos `n + 1` pontos do gráfico com coordenadas conhecidas?

Sempre que você tiver todas as raízes (reais ou não) de uma função polinomial e mais um ponto do seu gráfico fora do eixo Ox, use a forma fatorada da função!

Uma função polinomial de grau `n` `f: \RR \rightarrow \RR` com:

`f(x) = a_n*x^n + a_(n-1)*x^(n-1) + ... + a_2*x^2 + a_1*x^1 + a_0`

com `a_n !=0`, sempre admite a forma fatorada:

`f(x) = a_n(x - x_n)*(x - x_(n-1))*(x - x_(n-2))* ... *(x - x_2)*(x- x_1)`

Cada fator `(x- x_n)` tem correspondente a raiz `x_n`, pois `f(x_n)=(x_n-x_n)=0`. Leia também sobre multiplicidade de uma raiz.

Assim, o ponto de cruzamento do gráfico de um polinômio com o eixo das ordenadas é `(0, P(0))`.

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Exemplo 2


Determinar o polinômio`p(x) = a(x-3)(x+2)`, sabendo que `p(0) = 2`.


Resolução


Temos que `p(x) = a(x - 3)(x + 2)`e sabemos que `p(0)=2`.

Assim, `p(0) = a(0 - 3)(0+2)=a*(-3)*2=-6a`. Como `p(0)=2`, então `-6a=2` ou seja `a=-1/3`.

Portanto, `p(x) = -\frac{1}{3}(x-3)(x+2)`.

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