A sequência de Fibonacci é um dos conceitos mais fascinantes da matemática, conhecida por sua simplicidade e pelas conexões surpreendentes com o mundo natural. Descoberta há séculos, ela continua a encantar matemáticos, artistas e cientistas. Neste artigo, exploraremos sua origem, propriedades e aparições na natureza, de forma acessível para quem está no Ensino Médio ou simplesmente curioso sobre o tema.
História da Sequência
A sequência de Fibonacci foi introduzida no Ocidente pelo matemático italiano Leonardo de Pisa, conhecido como Fibonacci, em seu livro "Liber Abaci" de 1202. No entanto, ela já era conhecida na Índia séculos antes. O problema clássico que a ilustra envolve coelhos: imagine um par de coelhos que, após um mês, produz um novo par, e cada par subsequente faz o mesmo. A quantidade de pares ao longo dos meses forma a sequência: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, e assim por diante. Formalmente, define-se como `F_n = F_{n-1} + F_{n-2}`, com `F_1 = 1` e `F_2 = 1`.
Propriedades Matemáticas
Uma das propriedades mais interessantes é a aproximação à razão áurea, denotada por `phi = (1 + sqrt(5))/2 approx 1.618`. À medida que a sequência avança, a razão entre termos consecutivos se aproxima de `phi`: por exemplo, `8/5 = 1.6`, `13/8 = 1.625`, `21/13 approx 1.615`. Essa razão aparece em pentágonos regulares e na arte renascentista. Além disso, a soma dos primeiros `n` termos é `F_{n+2} - 1`, e há identidades como a de Cassini: `F_{n+1} F_{n-1} - F_n^2 = (-1)^n`.
Aparições na Natureza
O que torna a sequência de Fibonacci ainda mais intrigante é sua presença no mundo ao nosso redor. Em plantas, o número de pétalas em flores frequentemente segue a sequência: margaridas com 13, 21 ou 34 pétalas. Nas pinhas e abacaxis, as espirais formam padrões de 5, 8 ou 13. Isso ocorre devido ao crescimento otimizado, onde o ângulo de `360^circ / phi approx 222.5^circ` minimiza sobreposições. Até em galáxias espirais e furacões, padrões semelhantes emergem, mostrando como a matemática modela a eficiência natural.
Aplicações Modernas
Hoje, a sequência é usada em algoritmos de computação, análise financeira (como no trading com retrações de Fibonacci) e até na música e arte. Por exemplo, compositores como Béla Bartók incorporaram proporções áureas em suas obras. Experimente calcular alguns termos: comece com 1 + 1 = 2, 1 + 2 = 3, 2 + 3 = 5... e veja como ela cresce exponencialmente, aproximando-se de `phi^n / sqrt(5)` pela fórmula de Binet.