Professor Cardy



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Uma progressão aritmética (abreviadamente, P. A.) é uma sequência numérica em que cada termo, a partir do segundo, é igual à soma do termo anterior com uma constante r.

O número r é chamado de razão ou diferença comum da progressão aritmética.

Alguns exemplos de progressões aritméticas:

1, 4, 7, 10, 13, ..., é uma progressão aritmética em que a razão (a diferença entre os números consecutivos) é igual a 3.

Repare: 3 = 41 = 74 = 10 – 7= ...

-2, -4, -6, -8, -10, ..., é uma P.A. com r = –2.

6, 6, 6, 6, 6, ..., é uma P.A. com r = 0.

Uma seqüência {an} = (a0, a1, a2, ... ) é uma progressão se qualquer termo an for um número. Se todos os termos são reais a seqüência será um Progressão Real.

Terminologia para Progressões Reais

NOME

Se, a partir do segundo termo da seq. {an}, for válido:

crescente

an > an-1

decrescente

an < an-1

constante

an = an-1

alternada

an . an-1< 0

singular

Nome que deve ser entendido com muito cuidado! Quando se estabelece um grupo de termos, as exceções são singularidades dos casos. Aqui, uma sequência real será classificada como singular se não estiver comprometida com nenhum outro caso particular. Pode-se atribuir ao complementar de casos particulares o termo qualquer, ficando então assim:

  • sequência qualquer;
  • sequência singular.

 

Exemplo - Se f: IN → IR, onde f(n) = 12 2n. Determine { f(n) }
   
 

Temos que:

  • f(0) = 12
  • f(1) = 10
  • f(2) = 8

A notação { f(n) } indica a seqüência ( f(0) , f(1) , f(2) , ... , f(n) , ... ). Nesse caso, temos (12, 10, 8, ... ). Graficamente:

Repare que f(n + 1) f(n) = 2 para todo n natural.

Sempre que a diferença entre dois termos consecutivos de uma seqüência for uma constante, esta seqüência é uma Progressão Aritmética.

f( n + 1) f(n) = d

Definição

Seja f: IN → IR, se para todo n natural é valido que

f( n + 1) f(n) = d

onde d é uma constante, então { f(n) } é uma Progressão Aritmética. O número d é denominado por razão da progressão aritmética.


Usando outra notação:

f(n) = an.

 

exemplo

  • SEQÜÊNCIA: 

(a1, a2, ...) = (1, 2, ...)

  • TIPO: 

Progressão Aritmética

  • TERMO GERAL:

an = 1 + n

  •  RAZÃO: 

d = 1

  • CLASSIFICAÇÃO: 

 crescente

 

exemplo

  • SEQÜÊNCIA: 

(a1, a2, ...) = (1, 4, ...)

  • TIPO: 

Progressão Aritmética

  • TERMO GERAL:

an = -2 + 3n

  •  RAZÃO: 

d = 3

  • CLASSIFICAÇÃO: 

 crescente

 

exemplo

  • SEQÜÊNCIA: 

(a1, a2, ...) = (21, 19, ...)

  • TIPO: 

Progressão Aritmética

  • TERMO GERAL:

an = 23 - 2n

  •  RAZÃO: 

d = -2

  • CLASSIFICAÇÃO: 

 decrescente