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Parece fácil à primeira vista...

Aposto que você, se fizer, vai demorar dias!

O lado AD, de medida 1, do quadrado ABCD é prolongado formando o segmento AE de modo que B, F e E sejam colineares. Se FE mede 1, obter a medida x do segmento DE.


PS. Dica: x NÃO vale 1!

Resolução

A condição `0 < x < 1` é necessária porque x é a medida de um cateto do triângulo retângulo DFE, de hipotenusa 1.

 

Do triângulo ABE tem-se que:

`tan\alpha=\frac{1}{1+x}`

(I)

Do triângulo DFE:

`sec\alpha=1/x`

(II)

Lembrando a relação trigonométrica:

`tan^(2)\alpha + 1=sec^(2)\alpha`

(III)

Substituindo I e II em III chegamos em:

`(\frac{1}{1+x})^2+1=(\frac{1}{x})^2`

(IV)

Simplificando IV...

`(\frac{1}{1+x})^2+1=(\frac{1}{x})^2`

`\frac{1}{(1+x)^2}+1=\frac{1}{x^2}`

`frac{x^2+x^2(1+x)^2}{x^2(1+x)^2}=\frac{(1+x)^2}{x^2(1+x)^2}`

`x^2+x^2(1+x)^2=(1+x)^2`

`x^2+(x*(1+x^2))^2=(1+x)^2`

`(x*(1+x^2))^2=(1+x)^2 - x^2`

Agora, uma sacada importantíssima que evitará o trabalho de ter que operar em cima de uma equação de 4º grau (equação anterior). Usa-se o artifício de somar `2(x+ x^2) + 1` aos dois membros:

 

`(x*(1+x^2))^2+2(x+ x^2) + 1=(1+x)^2 - x^2 +2(x+ x^2) + 1`

`(1+x+x^2)^2=2(x+x^2) + 1 + (1+x)^2- x^2`

`(1+x+x^2)^2=2x^2+4x+2`

`(1+x+x^2)^2=2(x^2+2x+1)`

`(1+x+x^2)^2=2(x+1)^2`

`\sqrt{(1+x+x^2)^2}=\sqrt{2(x+1)^2}`

Lembrando a condição `0 < x < 1` :

`(1+x+x^2)=\sqrt{2}(x+1)`

`x^2+ (1-\sqrt{2})x+1-\sqrt{2}=0`

`x_{1,2}=\frac{ \sqrt{2}-1 +- \sqrt{2\sqrt{2}-1}}{2}`

Lembrando novamente que a condição é `0 < x < 1` :

`x=\frac{ \sqrt{2}-1 + \sqrt{2\sqrt{2}-1}}{2}`

 

Resposta: `x=\frac{ \sqrt{2}-1 + \sqrt{2\sqrt{2}-1}}{2}`

 

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