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Parece fácil à primeira vista...
Aposto que você, se fizer, vai demorar dias!
O lado AD, de medida 1, do quadrado ABCD é prolongado formando o segmento AE de modo que B, F e E sejam colineares. Se FE mede 1, obter a medida x do segmento DE.
PS. Dica: x NÃO vale 1!
Resolução A condição `0 < x < 1` é necessária porque x é a medida de um cateto do triângulo retângulo DFE, de hipotenusa 1.
Do triângulo ABE tem-se que:
Do triângulo DFE:
Lembrando a relação trigonométrica:
Substituindo I e II em III chegamos em:
Simplificando IV... `(\frac{1}{1+x})^2+1=(\frac{1}{x})^2` `\frac{1}{(1+x)^2}+1=\frac{1}{x^2}` `frac{x^2+x^2(1+x)^2}{x^2(1+x)^2}=\frac{(1+x)^2}{x^2(1+x)^2}` `x^2+x^2(1+x)^2=(1+x)^2` `x^2+(x*(1+x^2))^2=(1+x)^2` `(x*(1+x^2))^2=(1+x)^2 - x^2` Agora, uma sacada importantíssima que evitará o trabalho de ter que operar em cima de uma equação de 4º grau (equação anterior). Usa-se o artifício de somar `2(x+ x^2) + 1` aos dois membros:
`(x*(1+x^2))^2+2(x+ x^2) + 1=(1+x)^2 - x^2 +2(x+ x^2) + 1` `(1+x+x^2)^2=2(x+x^2) + 1 + (1+x)^2- x^2` `(1+x+x^2)^2=2x^2+4x+2` `(1+x+x^2)^2=2(x^2+2x+1)` `(1+x+x^2)^2=2(x+1)^2` `\sqrt{(1+x+x^2)^2}=\sqrt{2(x+1)^2}` Lembrando a condição `0 < x < 1` : `(1+x+x^2)=\sqrt{2}(x+1)` `x^2+ (1-\sqrt{2})x+1-\sqrt{2}=0` `x_{1,2}=\frac{ \sqrt{2}-1 +- \sqrt{2\sqrt{2}-1}}{2}` Lembrando novamente que a condição é `0 < x < 1` : `x=\frac{ \sqrt{2}-1 + \sqrt{2\sqrt{2}-1}}{2}`
Resposta: `x=\frac{ \sqrt{2}-1 + \sqrt{2\sqrt{2}-1}}{2}`
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