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O Ministro dos Correios da Primolândia, país dos números primos, resolveu que a partir do ano 2000 seriam emitidos selos de dois valores somente: 13 centavos e 17 centavos.

Acontece que a tarifa mínima para uma carta "via aérea" é de 350 centavos; o Exmo. Sr. Ministro dos Correios foi à TV para apresentar os novos selos e passou uma tremenda vergonha: não conseguiu combinar selos de 13 centavos e selos de 17 centavos para "formar" 350 centavos. A vergonha foi tanta que ele se demitiu!

Então, foi aberto um concurso para o preenchimento da vaga de Ministro dos Correios; uma condição obrigatória para aceitar a inscrição de um candidato é a apresentação de duas soluções para a selagem descrita acima, junto com o raciocínio seguido para encontrá-las.

Até agora, só o Dr. Mate apresentou duas soluções plenamente justificadas. Tente você também!

Sejam: x o número de selos de 13 centavos e y o número de selos de 17 centavos necessários para a selagem de 350 centavos, então, o par (x,y) deverá ser solução da equação

13.x + 17.y = 350

A equação acima, com a condição de serem x e y números inteiros, é chamada equação diofântica (Diofanto de Alexandria, que viveu no século III, parece ter sido o primeiro matemático grego a estudar tais equações). Vamos aplicar um procedimento geral para resolver a referida equação.

I) Vamos calcular o M.D.C. dos números 13 e 17 pelo método das divisões sucessivas (também chamado de Algoritmo de Euclides)

Substituindo na última igualdade o fator 4 pela diferença (17-13), resulta:

1 = 13 - 3.(17-13)

1= 13 - 3.17 + 3.13

4.13 - 3.17 = 1

Essa igualdade exprime o número 1, ou seja, o M.D.C. dos números 13 e 17 como uma combinação linear dos mesmos números.

II) Em seguida, vamos multiplicar ambos os membros da combinação linear pelo número 350 (o valor da selagem)

1400.13 - 1050.17 = 350 (A)

A igualdade (A) mostra que o par (1400, -1050) é uma solução da equação 13.x + 17.y = 350; entretanto, o referido par não é aceitável como resposta do problema da selagem, pois -1050 não pertence ao conjunto dos números naturais. Não vale colar na carta 1400 selos de 13 centavos cada um e receber "de troco" 1050 selos de 17 centavos cada um. Selo não é moeda!

III) Note que o 1º membro da igualdade (A) contém uma parcela positiva e uma outra negativa; então vamos praticar uma ação digna de Robin Hood: vamos "tirar" da parcela positiva uma "quantia" de maneira que essa parcela continue positiva e "doar" essa "quantia" à parcela negativa, tornando-a com isso positiva.

A referida "quantia" é o produto 13.17.k (sendo que o fator k será determinado em seguida)

[1400.13 - 13.17.k] + [13.17.k - 1050.17] = 350

ou seja,

13.(1400 - 17.k) + 17.(13.k - 1050) = 350 (B)

vamos impor as condições

Além da condição

resulta que somente k = 81 e k = 82 são aceitáveis. Assim, em (B):

Resposta

Uma selagem é: 23 selos de 13 centavos e 3 selos de 17 centavos.

Outra selagem é: 6 selos de 13 centavos e 16 selos de 17 centavos.

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