web
statistics
visualizações



APOIE O CANAL

O ProfCardy precisa de verba para fazer um trabalho cada vez mais bacana, e você pode ajudar. Para isso, tem a minha página no APOIA.SE e conto com a sua contribuição. Em breve a lista com os nomes dos primeiros apoiadores.

 

Este desafio recebeu 364 avaliações



O Pirata da Perna de Pau, vulgo Pipeta, escondeu um valiosíssimo tesouro numa ilha. Antes de ser executado, deixou para os seus capangas o mapa reproduzido ao lado, acompanhado da seguinte carta:

Próximo à praia sul da ilha, encontra-se o pelourinho P; caminhe em linha reta desde P até a cabana C. Em seguida, vire 90º à esquerda e faça o percurso, em linha reta, até um ponto A de modo que seja CA = PC.

Depois disso, volte ao pelourinho P e caminhe (sempre em linha reta) até a bananeira B. Em B vire 90º à direita e faça o percurso, em linha reta, até um ponto D de modo que seja BD = PB.

O Baú com o tesouro encontra-se em T, o ponto médio de AD.

O Dr. Mate leu a carta, examinou o mapa, e resolveu recuperar o tesouro. Ao chegar à ilha, encontrou a cabana C e a bananeira B, mas o pelourinho P tinha sido demolido há centenas de anos e sua localização não pôde ser encontrada.

Apesar disso, o Dr. Mate conseguiu localizar o ponto T e recuperar o tesouro.

Explique como agiu o Dr. Mate e porque ele tinha certeza da localização de T.

Vocês devem estar lembrados que o Dr. Mate teve uma desagradável surpresa ao tentar recuperar o tesouro do Pipeta: o ponto P (local do pelourinho), que seria o "ponto de partida" para o traçado de PCA e de PCB, não havia sido encontrado.

Depois de refazer-se, o Dr. Mate teve a idéia de "colocar" o pelourinho em dois pontos escolhidos arbitrariamente e verificar que, seguindo as instruções da carta, chegaria ao mesmo ponto T.

Isso induziu o Dr. Mate a fazer a seguinte declaração:

A localização do ponto T independe da localização do ponto inicial P. Escolhido outro ponto P' como inicial, chega-se ao mesmo ponto T.

O Dr. Mate também provou que essa declaração é verdadeira. Acompanhe, com o auxílo da figura, a demostração:

P e P' são dois pontos escolhidos arbitrariamente.

Os triângulos PP'C e AA'C são congruentes, pois PC = AC, P'C = A'C e os ângulos internos de vértice C têm ambos a medida 90º - a (LAL).

Resulta que PP' = AA'.

Além disso, imprimindo aos pontos P e P' uma rotação de 90º ao redor de C no sentido horário, suas posições finais serão A e A', respectivamente.

Segue que

e

AA' = PP'

(1)

Analogamente, considerando os triângulos PP'B e DD'B, conclui-se que

e

DD' = PP'

(2)

(a rotação de 90º ao redor de B é no sentido anti-horário)

Comparando (1) e (2), temos que

AA' = DD'

e

,

pois duas retas perpendiculares a uma terceira reta são paralelas.

Então, o quadrilátero AA'DD' é um paralelogramo e, portanto, suas diagonais e bissectam-se mutuamente, ou seja, o ponto T, médio de , é também o ponto médio de .

Avalie a dificuldade do Desafio

Pesadelo Pesadelo
Difícil
Pesadelo
Normal
Pesadelo
Fácil
Pesadelo
Fraquinho
Pesadelo


Comente

São mais de 50.000 páginas de conteúdo. Não acompanho os diálogos a seguir - por isso, caso você ache alguma pergunta feita pelos usuários e queira contribuir, por favor, deixe o seu parecer - que irá enriquecer o material.