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O Pirata da Perna de Pau, vulgo Pipeta, escondeu um valiosíssimo tesouro numa ilha. Antes de ser executado, deixou para os seus capangas o mapa reproduzido ao lado, acompanhado da seguinte carta:
Próximo à praia sul da ilha, encontra-se o pelourinho P; caminhe em linha reta desde P até a cabana C. Em seguida, vire 90º à esquerda e faça o percurso, em linha reta, até um ponto A de modo que seja CA = PC.
Depois disso, volte ao pelourinho P e caminhe (sempre em linha reta) até a bananeira B. Em B vire 90º à direita e faça o percurso, em linha reta, até um ponto D de modo que seja BD = PB.
| O Baú com o tesouro encontra-se em T, o ponto médio de AD. O Dr. Mate leu a carta, examinou o mapa, e resolveu recuperar o tesouro. Ao chegar à ilha, encontrou a cabana C e a bananeira B, mas o pelourinho P tinha sido demolido há centenas de anos e sua localização não pôde ser encontrada. Apesar disso, o Dr. Mate conseguiu localizar o ponto T e recuperar o tesouro. Explique como agiu o Dr. Mate e porque ele tinha certeza da localização de T. |
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| Vocês devem estar lembrados que o Dr. Mate teve uma desagradável surpresa ao tentar recuperar o tesouro do Pipeta: o ponto P (local do pelourinho), que seria o "ponto de partida" para o traçado de PCA e de PCB, não havia sido encontrado. Depois de refazer-se, o Dr. Mate teve a idéia de "colocar" o pelourinho em dois pontos escolhidos arbitrariamente e verificar que, seguindo as instruções da carta, chegaria ao mesmo ponto T. Isso induziu o Dr. Mate a fazer a seguinte declaração: A localização do ponto T independe da localização do ponto inicial P. Escolhido outro ponto P' como inicial, chega-se ao mesmo ponto T. |
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O Dr. Mate também provou que essa declaração é verdadeira. Acompanhe, com o auxílo da figura, a demostração: P e P' são dois pontos escolhidos arbitrariamente. Os triângulos PP'C e AA'C são congruentes, pois PC = AC, P'C = A'C e os ângulos internos de vértice C têm ambos a medida 90º - a (LAL). Resulta que PP' = AA'. Além disso, imprimindo aos pontos P e P' uma rotação de 90º ao redor de C no sentido horário, suas posições finais serão A e A', respectivamente.
Analogamente, considerando os triângulos PP'B e DD'B, conclui-se que
(a rotação de 90º ao redor de B é no sentido anti-horário) Comparando (1) e (2), temos que
Então, o quadrilátero AA'DD' é um paralelogramo e, portanto, suas diagonais |
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e 
bissectam-se mutuamente, ou seja, o ponto T, médio de Comente
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