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O comandante de uma caravela promete, como recompensa a três dos seus mais valentes marujos, as moedas (de 200 a 300) contidas num baú. No dia posterior, estas moedas seriam distribuídas em três partes iguais.

Durante a noite, um dos marujos resolve retirar em segredo sua parte. Ao repartir as três moedas, notou que sobrava uma. Temendo que essa moeda fosse causa de uma contenda, joga-a ao mar, tomando para si a sua parte.

Depois disso o segundo marujo tem a mesma idéia. Ao dividir em três as moedas do baú, constata que sobra uma. Joga esta ao mar, crendo assim evitar algum problema, e toma o que julga ser a sua parte.

Pouco tempo depois o terceiro marujo tem a mesma idéia e, desconhecendo a antecipação de seus companheiros, repete a a divisão em três das moedas restantes do baú, no qual sobra uma moeda, que é atirada ao mar; retém consigo a parte que, ao seu entender, lhe era devido...

No dia seguinte, o comandante toma as moedas do baú, faz a partilha e percebe que sobraria uma moeda. Achando que evitaria problemas, fica com a moeda e distribui o restante, igualmente entre os três marujos. Porém nenhum dos marujos reclamou do recebimento porque acharam que já haviam retirado a sua parte.

Quantas eram as moedas no baú?

Baú

 

`x`

Evento I

Marujo 1 elimina uma moeda, o baú fica com `x-1` moedas.

Evento II

Toma a sua terça parte, `1/3(x-1)` moedas.

Resta no Baú

`2/3(x-1)` moedas

`2/3(x-1)`

Evento I

Marujo 2 elimina uma moeda, o baú fica com `2/3(x-1)-1` moedas.

Evento II

Toma a sua terça parte, `1/3(2/3(x-1)-1)` moedas.

Resta no Baú

`2/3(2/3(x-1)-1)` moedas

`2/3(2/3(x-1)-1)`

Evento I

Marujo 3 elimina uma moeda, o baú fica com `2/3(2/3(x-1)-1)-1` moedas.

Evento II

Toma a sua terça parte, `1/3(2/3(2/3(x-1)-1)-1)` moedas.

Resta no Baú

`2/3(2/3(2/3(x-1)-1)-1)` moedas

`2/3(2/3(2/3(x-1)-1)-1)`

Evento I

Elimina uma moeda, o baú fica com `2/3(2/3(2/3(x-1)-1)-1)-1` moedas.

Evento II

Cada um recebe `1/3(2/3(2/3(2/3(x-1)-1)-1)-1)` moedas.

 

 

Temos que `1/3(2/3(2/3(2/3(x-1)-1)-1)-1)=\frac{8x-65}{81}` e para que essa fração dê exata é necessário que `8x-65` seja divisível por `81` e o único valor de `x` entre `200` e `300` que permite tal divisibilidade (de `8x-65` por `81`) é `x= 241`.

 

Portanto, `241` moedas.

 

Baú

Evento I

Evento II

Resta no baú

Marujo 1
241
Elimina uma moeda, o baú fica com 240 moedas. Toma a sua terça parte, 80 moedas. 160 moedas
Marujo 2
160
Elimina uma moeda, o baú fica com 159 moedas. Toma a sua terça parte, 53 moedas. 106 moedas
Marujo 3
106
Elimina uma moeda, o baú fica com 105 moedas. Toma a sua terça parte, 35 moedas. 70 moedas
Comandante
70
Elimina uma moeda, o baú fica com 69 moedas. Cada um recebe 23 moedas.  

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