Professor Cardy



Geometria > Poliedros de Platão

São todos os poliedros regulares.

Alguns textos brasileiros apresentam a bizarra ideia de que Poliedros de Platão não precisam ser regulares, o que é um absurdo.

 

Poliedro Regular e Poliedro de Platão representa o mesmo sólido.

 

Poliedro de Platão

É todo poliedro convexo que possui:

a) em todas as suas faces polígonos regulares congruentes entre si.

b) todos os seus ângulos poliédricos são regulares e congruentes entre si.

São exclusivamente 5 os poliedros de Platão:

Poliedro de Platão

Total de vértices(V)

Total de arestas (A)

Total de faces (F)

Todas as suas faces são:
De todos os seus vértices partem
tetraedro
4
6
4
triângulos
3 arestas
hexaedro
8
12
6
quadrados
3 arestas
octaedro
6
12
8
triângulos
4 arestas
dodecaedro
20
30
12
pentágonos
3 arestas
icosaedro
12
30
20
triângulos
5 arestas

 

Poliedros de Platão 3D

Tetraedro Regular

Faces = 4

Vértices = 4

Arestas = 6

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Planificação do Tetraedro - para imprimir, clique aqui.

Planificação do Tetraedro

Hexaedro Regular

Faces = 6

Vértices = 8

Arestas = 12

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Octaedro Regular

Faces = 8

Vértices = 6

Arestas = 12

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Dodecaedro Regular

Faces = 12

Vértices = 20

Arestas = 30

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Icosaedro Regular

Faces = 20

Vértices = 12

Arestas = 30

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Planificação do Icosaedro - para imprimir, clique aqui.

 

Poliedro Convexo

Além disso, é oportuno destacar que se um poliedro é convexo, então vale a relação de Euler. Ou seja, para um poliedro de V vértices, A arestas e F faces, vale que:

`V - A + F = 2`

A recíproca da frase anterior não é verdadeira, porque podemos ter uma terna (`V`, `A`, `F`) que satisfaz a equação `V - A + F = 2` e, mesmo assim, termos um poliedro não convexo. Aliás, podemos nem ter poliedro algum!

Repare que na ilustração, `V = 12`, `A = 18` e `F = 8`. Vale que `V - A + F = 2`, porém o sólido não é um Poliedro Convexo.

A relação de Euler funciona assim:

Se for um poliedro convexo, então é obrigatório que seja válida a relação `V - A + F = 2`.

Contudo: Se vale a relação `V - A + F = 2`, então o poliedro pode não ser poliedro convexo.