Desenho Projetivo [Questão 3] + [Questão 4]
Prova de Habilidades Específicas FAU-USP (FUVEST - 2005)
O cubo de vértices A = (0, 0, 0), B = (6, 0, 0), C = (6, 6, 0), D = (0, 6, 0), E = (0, 6, 0), F = (6, 0, 6), G = (6, 6, 6) e H = (0, 6, 6) é cortado pelo plano que passa pelos pontos P = (2, 0, 0), Q = (0, 2, 0) e R = (6, 4, 6).
1) Desenhe à mão livre, em perspectiva, o cubo e o corte que esse plano faz no cubo.
2) Determine as coordenadas dos vértices do polígono formado por esse corte.
3) Desenhe no plano, com régua e compasso, o polígono obtido, considerando que a unidade dos eixos coordenados é 1 cm.
4) Calcule a área desse polígono. |
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1. Uma Cavaleira do Cubo e dos pontos P, Q e R:
Se P, Q e R pertencem ao plano (alfa), então existe um ponto K na face EFGH de modo que RQ || QP.
Os pontos P, Q, R e K são vértices do polígono gerado pelo corte.
Tomando-se o ponto X, médio de RQ, existe uma paralela a QP que corta as arestas BF e DH nos respectivos pontos médios L e M, que pertencem simultaneamente ao plano (alfa) e ao cubo, logo, ao corte.
obs. Uma justificativa para L e M serem os pontos médios comentados é que GR = GK = AQ = AP. Uma vista auxiliar pode ajudar você a perceber esse fato.
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X é ponto médio de RQ. O polígono definido pelo corte é RKMPQL.
obs. Para se verificar a precisão dessa Perspectiva Cavaleira, podemos recorrer ao prolongamento de alguns segmentos convenientes, tanto do cubo quando do hexágono obtido. Essa verificação é importante porque, mesmo que o desenho do candidato tenha apresentado um hexágono, é importante que ele tenha atentado ao fato de que todos os vértices desse polígono sejam COPLANARES.
Uma forma de constatação é prolongar duplas de lados do hexágono na perspectiva e verificar se interseptam uma das arestas do cubo (também prolongada) no mesmo ponto. Este teste de verificação está ilustrado a seguir com 4 das 6 possibilidades.
Outra forma é verificar que as 3 duplas de lados do hexágono são, obrigatoriamente, paralelas na perspectiva (e no espaço)...
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