Os poliedros Regulares Estrelados
De um ponto de vista matemático, os referidos poliedros foram estudados pela primeira vez por volta do ano 1600 pelo cientista alemão Kepler (1571-1630), mas eram já desde há muito tempo conhecidos: o pequeno dodecaedro estrelado, por exemplo, encontra-se representado no pavimento da basílica de São Marcos, em Veneza, num embutido em mármore de 1420, atribuído a Paolo Uccello.
Os que acabamos de descrever são os únicos poliedros regulares que têm como faces polígonos estrelados, mas não são os únicos poliedros regulares estrelados: é possível construir outros, cujas faces são polígonos regulares comuns, mas que “se intersectam” entre si, ou seja, podem ter em comum segmentos que não são lados das faces, da mesma forma que os lados de um polígono estrelado podem ter em comum pontos que não são vértices.
No início do século XIX, o físico e matemático Louis Poisont (1777-1859) descobriu dois poliedros regulares estrelados deste tipo, o grande dodecaedro e o grande icosaedro, obtidos respectivamente com doze pentágonos e com vinte triângulos, que se encontram cinco a cinco em cada vértice, no sentido em que, perto de cada vértice, o poliedro tem a forma de uma pirâmide, cuja base é um pentagrama. Estes encontram-se representados no desenho abaixo (também neste caso as áreas coloridas constituem a parte visível de uma das faces). Poucos anos depois, o matemático francês Augustin Cauchy (1789-1857) encerrou este assunto, mostrando que não existem mais poliedros regulares estrelados.
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Estes poliedros podem, à primeira vista, parecer respectivamente um dodecaedro e um icosaedro, sobre cujas faces foram construídas pirâmides regulares todas congruentes entre si. A altura destas pirâmides é a altura “certa” para que os sessenta triângulos que representam as faces laterais, tomados cinco a cinco, estejam sobre um mesmo plano e rodeiem um pentágono com o qual formam um pentagrama (as cores das figuras evidenciam esses planos).
Os dois poliedros podem, portanto, ser obtidos unindo nos seus vértices (cinco a cinco, ou três a três) doze pentágonos regulares estrelados todos iguais, de modo que as faces sejam unidas uma à outra ao longo dos seus lados, como nos poliedros usuais, mas por forma que se intersectem escondendo os pentágonos centrais de cada pentagrama. De acordo com esta interpretação, estes são poliedros regulares, mais exatamente dodecaedros, designados respectivamente como pequeno dodecaedro estrelado e grande dodecaedro estrelado.
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