Théorème de Desargues
Un des théorèmes les plus fondamentaux de la géométrie plane (peut-être faudrait-il dire le théorème le plus fondamental) est le théorème de Desargues. Il est habituellement énoncé sous la forme suivante:
Si les droites joignant les sommets homologues de deux triangles sont concourantes, les points d'intersection de leurs côtés homologues sont alignés, et réciproquement.
Cet énoncé est clairement auto-dual. La configuration correspondante est représentée ci-dessous.

Si l'on montre ce dessin à un non-mathématicien, il y a gros à parier qu'il y verra deux triangles situés dans l'espace, projetés à partir d'un point, et il ne trouvera pas très remarquable que les plans de ces deux triangles se coupent en une droite.
Toutefois le théorème de Desargues est, en mathématiques, énoncé dans le plan. La remarque faite ci-dessus aidera à la démonstration en plongeant le plan dans l'espace et en faisant appel à un troisième triangle auxiliaire.
Cependant si l'on s'interdit de sortir du plan, la démonstration devient plus ardue, voire impossible, et il convient de faire un soigneux bilan des axiomes qui ont été admis jusqu'alors. Ce bilan fait, il devient, selon les cas, possible ou impossible de démontrer ce "théorème".
Une analyse un peu plus approfondie montre que la "bonne" solution, la solution de bon sens, consiste à prendre le "théorème" de Desargues comme axiome quitte à supprimer certaines propriétés déjà admises précédemment et qui en découlent tout naturellement, telle l'existence de translations, d'homothéties, etc...
Venons-en à la démonstration du théorème (il s'agit cette fois d'un théorème) de Desargues pour un plan plongé dans l'espace (les propriétés admises sont uniquement les propriétés linéaires).
Il y a bien entendu celle suggérée plus haut, mais il y a plus joli!
La configuration peut également suggérer non pas deux triangles projetés à partir d'un même point, mais aussi deux projections d'un même triangle à partir de deux points différents. Représentons cette situation:

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