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Sua meta: é 1.000 pontos. Vai em frente!


Maratona ENEM (com ajuda) 2020

Para realizar a viagem dos sonhos, uma pessoa precisava fazer um empréstimo no valor de R$ 5 000,00. Para pagar as prestações, dispõe de, no máximo, R$ 400,00 mensais. Para esse valor de empréstimo, o valor da prestação (`P`) é calculado em função do número de prestações (`n`) segundo a fórmula

`P = \frac{5000 \xx1,013^n \xx0,013}{(1,013^n - 1)}`

Se necessário, utilize 0,005 como aproximação para log1,013; 2,602 como aproximação para log400; 2,525 como aproximação para log335.

A) 12
B) 14
C) 15
D) 16
E) 17

Acertando essa questão você pode conquistar de 40 pontos a até 90 pontos.

Maratona ENEM (com ajuda) 2020

Pare vencer esta maratona você precisa alcançar 1.000 pontos.

Não desanime, questões mais difíceis valem mais pontos e o valor delas é apresentado no final de cada questão.

Questões que você acertar em menos tempo rendem pontos de bonificação.

Aos que chegarem no final sem errar NADA, poderão escrever no mural da fama.

Boa maratona!


O valor máximo para `P` deve ser 400, isto é `P <= 400`.

` \frac{5000 \xx1,013^n \xx0,013}{(1,013^n - 1)} <= 400`

Um pequeno ajuste na desigualdade anterior facilitará:

` \frac{5000 \xx 0,013 \xx 1,013^n }{(1,013^n - 1)} <= 400`

Como `5000 \xx 0,013 = 65`, temos:

` \frac{(5000 \xx 0,013) \xx 1,013^n }{(1,013^n - 1)} <= 400`

` \frac{65 \xx 1,013^n }{(1,013^n - 1)} <= 400`

O enunciado apresenta o símbolo de multiplicação `\xx` (sem problemas!). Contudo, para as seguintes passagens vou usar o símbolo `*` para uniformizar as expressões. Apenas por uma questão estética.

` \frac{65 * 1,013^n }{(1,013^n - 1)} <= 400`

O que equivale a dizer que (atente ao fato: `1,013^n - 1 > 0`, ou seja `1,013^n - 1` é um valor positivo e isto garante que o sentido da desigualdade `<=` se mantenha o mesmo na multiplicação desse número em ambos os membros da desigualdade [ver observações no final]):

` \frac{65 * 1,013^n}{(1,013^n - 1)} * (1,013^n - 1) <= 400 * (1,013^n - 1)`

` 65 * 1,013^n <= 400 * (1,013^n - 1)`

` 65 * 1,013^n <= 400 * 1,013^n - 400`

` 65 * 1,013^n - 400 * 1,013^n <= - 400`

` 1,013^n *(65 - 400) <= - 400`

` 1,013^n *(-335) <= - 400`

Mutliplicando ambos os membros da desigualdade por `-1` [ver observações no final]:

` 1,013^n *(335) >= 400`

Dividindo-se ambos os membros por `335` [ver observações no final]:

` \frac{1,013^n *(335)}{335} >= \frac{400}{335}`

` 1,013^n >= \frac{400}{335}`

Como a incógnita `n` é expoente na potência `1,013^n`, será conveniente usar logaritmos para concluir a resolução, fazendo uso de suas propriedades.

` log(1,013^n) >= log(\frac{400}{335})`

Usando a propriedade Logaritmo da Potência:

` n*log(1,013) >= log(\frac{400}{335})`

Usando a propriedade Logaritmo da Divisão:

` n*log(1,013) >= log400 - log335`

O enunciado determinou os valores aproximados de todos os logaritmos envolvidos na desigualdade anterior. Sendo assim, fazendo uso que `log1,013 ~~0,005`, `log400~~2,602` e `log335 ~~ 2,525`:

` n*0,005 >= 2,602 - 2,525`

` n*0,005 >= 0,077`

Dividindo-se ambos os membros por `0,05` [ver observações no final]:

` n >= \frac{0,077}{0,005}`

` n >= 15,4`

Sendo `n` número de prestações, então `n` é um Número Natural. Portanto, o primeiro número natural que é maior que `15,4` é `16`.

 

Observação 1: Quando multiplicamos (ou dividimos) ambos os membros de uma desigualdade por um valor negativo, o sentido da desigualdade deve ser invertido, ou seja, (A) se for `>` passa a ser `<`; (B) se for `>=` passa a ser `<=`; (C) se for `<` passa a ser `>` e (D) se for `<=` passa a ser `>=`.

Observação 2: Quando multiplicamos (ou dividimos) ambos os membros de uma desigualdade por um valor positivo, neste caso a desigualdade continua a mesma.



Avançado

Usando os dados sugeridos do enunciado realmente se chega em `n=16`. ALTERNATIVA D.

Entretanto, do ponto de vista matemático (que é o que importa), a alternativa correta é B, porque para `n=14` temos o primeiro número natural que atende `P<=400`.

`P = \frac{5000 \xx1,013^14 \xx0,013}{(1,013^14 - 1)} = 392,94.`

Apresento, a seguir, todos os resultados para `n=1` a até `n=16`, para ilustrar:

Número de Parcelas `n`

Cada Prestação `P`

1

R$ 5.065,00

2

R$ 2.548,85

3

R$ 1.710,19

4

R$ 1.290,89

5

R$ 1.039,34

6

R$ 871,66

7

R$ 751,91

8

R$ 662,11

9

R$ 592,29

10

R$ 536,44

11

R$ 490,76

12

R$ 452,71

13

R$ 420,52

14

R$ 392,94

15

R$ 369,04

16

R$ 348,15

 

Portanto, do ponto de vista matemático, a resposta correta é `n=14`. ALTERNATIVA B


Questões Feitas:

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Ferramentas para professores ou estudantes

Maratona Enem

Uma bateria de questões do ENEM para serem feitas até chegar aos 1.000 pontos. Ganham-se pontos por eficiência e as questões aumentam ou diminuem de valor a medida que se acertam ou erram as questões anteriores.

Gerador de Provas

Coloque os critérios para montar a sua prova escolhendo uma disciplina, filtrando questões por matéria, instituição ou quantidade de problemas dentro da sua prova personalizada.

Gerador de Simulados

Coloque os critérios para montar o seu simulado, filtrando questões por matéria, instituição ou quantidade de problemas dentro da sua prova personalizada.



Maratonas de Estudos

Maratona Raciocínio Quantitativo

Uma bateria de questões que comparam quantidades que estimulam o raciocínio de comparação e percepção visual. Baseado em exames internacionais como o GRE Graduate Record Examination.

Maratona Enem (com ajuda)

Uma bateria de questões do ENEM que apresentam as resoluções para serem feitas até chegar aos 1.000 pontos. Ganham-se pontos por eficiência e as questões aumentam ou diminuem de valor a medida que se acertam ou erram as questões anteriores.

Maratona Raciocínio Lógico

Uma bateria de questões de lógica ou de raciocínio lógico-dedutivo. Envolve alguns conceitos de álgebra e geometria, mas sem tanta ênfase em partes específicas da matemática.

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