Lista de Exercícios Resolvidos - Matemática

Questão 1 — EXTRA

Calcule o valor numérico de `\frac{1}{10M}`, sabendo que `M+2=\sqrt{ \frac{a^2 }{b^2} +\frac{b^2}{a^2} + 2}`, `a=0,998` e `b=1`.

A) `249.500`
B) `24 950`
C) `2 495`
D) `249,5`
E) `24,49`


Resolução

Comentários Iniciais

Para que uma raíz quadrada seja simplicada pura e simplesmente pelo seu radicando, basta que seja possível reescrever (manipular algébricamente) o radicando de modo que ele seja uma potência de 2.

Podem ser diretamente simplificados, por exemplo:

`\sqrt{3^2}=3`

Nos exemplos literais a seguir sempre com `x >=0`, `y>=0` e `z>0`.

`\sqrt{x^2}=x`

`\sqrt{x^2*y^2}=x*y`

`\sqrt{\frac{x^2}{y^2}}=x/y`

`sqrt{\frac{x^2*y^2}{z^2}}=\frac{x*y}{z}`

Dado:

`M+2 = \sqrt{ \frac{a^2 }{b^2} +\frac{b^2}{a^2} + 2}`

Assim

`M= \sqrt{ \frac{a^2 }{b^2} +\frac{b^2}{a^2} + 2} - 2`

`M =``\sqrt{ \frac{a^2 }{b^2} + 2 +\frac{b^2}{a^2}}-2`

Pois bem...

`M =`` \sqrt{(a/b+b/a)^2} - 2`

Segue que:

`M =``a/b+b/a-2`

`M = ``\frac{a^2+b^2-2ab}{ab} `

`M = ``\frac{a^2-2ab+ b^2}{ab} `

`M = ``\frac{(a-b)^2}{ab} `

Vamos usar `a=0,998` e `b=1`:

`M = ``\frac{(0,998-1)^2}{0,998*1} `

`M = ``\frac{(-0.002)^2}{0,998} `

`M = ``\frac{(-2/1000)^2}{998/1000} `

`M = ``\frac{4/1000^2}{998/1000} `

`M = ``\frac{4/1000}{998} `

`M = ``\frac{4}{1000*998} `

`M = ``\frac{4}{4*250*998} `

`M = ``\frac{1}{250*998} `

`M = ``\frac{1}{249500} `

Assim:

`\frac{1}{10M} = \frac{1}{10*\frac{1}{249500}}=\frac{249 500}{10} = 24 950`






Observações:

`\sqrt{A}`: `A` é o radicando (o número que se 'tira' a raíz). Lê-se: "Raiz Quadrada de A"

Exemplo

`\sqrt{x+y^3}`: o radicando é `x+y^3`

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Potência de 2, são números elevados ao quadrado.

`B^2`: `B` é a base da potência de 2. Lê-se: "B elevado ao quadrado".

Exemplos

`3^2`

`x^2`

`(x+2z-3)^2`


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Produtos Notáveis

Trinômio Quadrado Perfeito (ambos):

`(A+B)^2 = A^2 + 2AB + B^2`

`(A-B)^2 = A^2 - 2AB + B^2`


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Questão 2 — ESPM

As raizes da equação `3x^2+7x-18=0` são `\alpha` e `\beta`. O valor da expressão `\alpha^2\beta + \alpha\beta^2 -\alpha - \beta` é:

 

A) `29/3`

B) `49/3`

C) `31/3`

D) `53/3`

E) `26/3`

+ para melhorar o seu preparo no ENEM

Resolução

Da equação dada, destacando-se cada coeficiente:

`3x^2+7x-18=0 <=> {(a = 3),(b=7),(c=-18):}`

Sendo `\alpha` e `\beta` raizes da equação `3x^2+7x-18=0`, temos que:

`{(\alpha + \beta= -b/a) ,(\alpha * \beta= c/a) :}`

`{(\alpha + \beta= -7/3) ,(\alpha * \beta= -18/3) :}`

Da expressão `\alpha^2\beta + \alpha\beta^2 -\alpha - \beta`, temos:

`\alpha^2\beta + \alpha\beta^2 -\alpha - \beta =`

`=\alpha\beta(\alpha+\beta) -(\alpha + \beta) =`

`=(\alpha+\beta)(\alpha\beta-1) = (-7/3)(-18/3-1)=(-7/3)(-21/3)=49/3`

Questão 3 — ENEM

A pele humana, quando está bem hidratada, adquire boa elasticidade e aspecto macio e suave. Em contrapartida, quando está ressecada, perde sua elasticidade e se apresenta opaca e áspera. Para evitar o ressecamento da pele é necessário, sempre que possível, utilizar hidratantes umectantes, feitos geralmente à base de glicerina e polietilenoglicol:

Glicerina

Polietilenoglicol

Disponível em: http://www.brasilescola.com. Acesso em: 23 abr. 2010 (adaptado).

A retenção de água na superfície da pele promovida pelos hidratantes é consequência da interação dos grupos hidroxila dos agentes umectantes com a umidade contida no ambiente por meio de

A) ligações iônicas.

B) forças de London.

C) ligações covalentes.

D) forças dipolo-dipolo.

E) ligações de hidrogênio.


Resolução

A retenção de água na superfície da pele promovida pelos hidratantes glicerina e polietilenoglicol é consequência da interação dos grupos hidroxila dos agentes umectantes com a umidade contida no ambiente por meio de ligações de hidrogênio com água.

Questão 4 — ENEM

A figura seguinte mostra um modelo de sombrinha muito usado em países orientais.

Disponível em: http://mdmat.psico.ufrgs.br. Acesso em: 1 maio 2010.

Esta figura é uma representação de uma superfície de revolução chamada de

A) pirâmide

B) semiesfera

C) cilindro

D) tronco de cone

E) cone


Resolução

Esta é uma representação da superfície lateral de um cone de revolução.

Questão 5 — UFPE

A idade de uma mãe, atualmente, é 28 anos a mais que a de sua filha. Em dez anos, a idade da mãe será o dobro da idade da filha. Indique a soma das idades que a mãe e a filha têm hoje.
(Observação: as idades são consideradas em anos.)

A) 61
B) 62
C) 63
D) 64
E) 65


Resolução

Seja x a idade atual da filha. Então, a idade atual da mãe é de x + 28 anos. Em dez anos, filha e mãe terão, respectivamente, x + 10 e x + 28 + 10 = x + 38 anos.

Segue que x + 38 = 2(x+10) e x = 18. A soma das idades de mãe e filha, hoje, é 18 + (18 + 28) = 64 anos.