Lista de Exercícios Resolvidos - Matemática

Questão 1 — ENEM

A eutrofização é um processo em que rios, lagos e mares adquirem níveis altos de nutrientes, especialmente fosfatos e nitratos, provocando posterior acúmulo de matéria orgânica em decomposição. Os nutrientes são assimilados pelos produtores primários e o crescimento desses é controlado pelo nutriente limítrofe, que é o elemento menos disponível em relação à abundância necessária à sobrevivência dos organismos vivos. O ciclo representado na figura seguinte reflete a dinâmica dos nutrientes em um lago.

 


 

SPIRO, T. G.; STIGLIANI, W. M. Química Ambiental. São Paulo: Pearson Education do Brasil, 2008 (adaptado).

A análise da água de um lago que recebe a descarga de águas residuais provenientes de lavouras adubadas revelou as concentrações dos elementos carbono (21,2 mol/L), nitrogênio (1,2 mol/L) e fósforo (0,2 mol/L). Nessas condições, o nutriente limítrofe é o

A) `C`.

B) `N`.

C) `P`.

D) `CO_2`.

E) `PO_4^{3-}`.


Resolução

Do esquema apresentado, temos que tanto algas bem como outros organismos fixadores de nitrogênio e fotossintéticos assimilam `C`, `N` e `P` nas razões atômicas de 106 : 16 : 1. Ou seja:

106 mol `C`

16 mol `N`

1 mol `P`
÷ 5
`(\frac{106}{21,2}=5)`
÷ 13,3
`(\frac{16}{1,2}~~13,3)`
÷ 5
`(\frac{1}{0,2}=5)`
21,2 mol/L `C`

1,2 mol/L `N`

0,2 mol/L `P`

O nutriente limítrofe é o nitrogênio, pois apresenta a menor proporção em mol.

Questão 2 — EXTRA

Dada a função `g: \RR -> [1, +oo[`, onde

`(g(x))^2 = 2g(x)+3x^2`

Podemos dizer que a lei de `g` é:

A) `g(x) = 1 - \sqrt{1+3x^2}`

B) `g(x) = 1 + \sqrt{1+3x^2}`

C) `g(x) = 1 - \sqrt{1-3x^2}`

D) `g(x) = 1 + \sqrt{1-3x^2}`

E) `g(x) = 1 + \sqrt{-1+3x^2}`

+ para melhorar o seu preparo no ENEM

Resolução

De `(g(x))^2 = 2g(x)+3x^2`, denotemos por `g^2 = 2g+3x^2` para facilitar o desenvolvimento.

Assim,

`g^2 = 2g+3x^2`

`g^2 - 2g-3x^2 = 0`

`\Delta = b^2-4ac =(-2)^2-4*1*(-3x^2) = 4+12x^2=4*(1+3x^2)`

`\Delta = 4*(1+3x^2)`

`g_{1,2} = \frac{-b+-\sqrt{\Delta}}{2a}`

`g_{1,2} = \frac{-(-2) +- \sqrt{4(1+3x^2)}}{2*1}`

`g_{1,2} = \frac{2 +- \sqrt{4(1+3x^2)}}{2}`

`g_{1,2} = \frac{2 +- 2\sqrt{1+3x^2}}{2}`

`g_{1,2} = 1 +- \sqrt{1+3x^2}`

Temos que ou `g = 1 + \sqrt{1+3x^2}` ou `g = 1 - \sqrt{1+3x^2}`.

Como foi enunciado que `g: \RR -> [1, +oo[`, temos que o contradomínio de `g` é `[1, +oo[`. Logo, `g(x)` apenas tem correspondentes da imagem em `[1, +oo[` e isso implica que `g >=1`. Devido a esse fato, `g = 1 - \sqrt{1+3x^2}` não convém pois `g` teria como imagem números reais menores que `1` (para todo valor de `x`).

Repare que `g = 1 + \sqrt{1+3x^2}` tem imagem números reais maiores ou iguais a `1`, para quaisquer valores de `x`, satisfazendo a restrição estipulada em `g: \RR -> [1, +oo[`.

Portanto, `g = 1 + \sqrt{1+3x^2}`.



OBS.: O conjunto Imagem de `g` é `Im_g = [2, +oo[`.

Questão 3 — PUC-RS

O número de anagramas da palavra CONJUNTO que começam por C e terminam por T é

A) 15
B) 30
C) 180
D) 360
E) 720


Resolução

Trata-se de uma permutação com elementos repetidos

Como a letra C e letra T estão no início e no fim, temos as letras O, N, J, U, N e O - 6 letras, com O repetida duas vezes e N também repetida duas vezes.

`P_6^{(2,2)} = \frac{6!}{2!*2!} = \frac{6*5*4*3*2*1}{2*2}= 120`

Questão 4 — ENEM

TEIXEIRA, W. et al. Decifrando a Terra. São Paulo: Nacional, 2009 (adaptado).

O gráfico relaciona diversas variáveis ao processo de formação de solos. A interpretação dos dados mostra que a água é um dos importantes fatores de pedogênese, pois nas áreas

A) de clima temperado ocorrem alta pluviosidade e grande profundidade de solos.

B) tropicais ocorre menor pluviosidade, o que se relaciona com a menor profundidade das rochas inalteradas.

C) de latitudes em torno de 30º ocorrem as maiores profundidades de solo, visto que há maior umidade.

D) tropicais a profundidade do solo é menor, o que evidencia menor intemperismo químico da água sobre as rochas.

E) de menor latitude ocorrem as maiores precipitações, assim como a maior profundidade dos solos.


Resolução

Podemos inferir, pelo gráfico apresentado, que as regiões de latitudes mais baixas são mais quentes e úmidas e as rochas apresentam um desgaste maior no processo de formação dos solos. Para esse último caso as altas temperaturas e fartura de água no estado líquido acelera o desgaste do solo e seu eventual aumento de profundidade.

Questão 5 — EXTRA

Dado que

obter o valor de

a)
b)
c)
d)


Resolução

Resolução (alternativa D)