Lista de Exercícios Resolvidos - Matemática

Questão 1 — ENEM

Certas espécies de algas são capazes de absorver rapidamente compostos inorgânicos presentes na água, acumulando-os durante seu crescimento. Essa capacidade fez com que se pensasse em usá-las como biofiltros para a limpeza de ambientes aquáticos contaminados, removendo, por exemplo, nitrogênio e fósforo de resíduos orgânicos e metais pesados provenientes de rejeitos industriais lançados nas águas. Na técnica do cultivo integrado, animais e algas crescem de forma associada, promovendo um maior equilíbrio ecológico.

SORIANO, E. M. Filtros vivos para limpar a água. Revista Ciência Hoje. V. 37, nº- 219, 2005 (adaptado).

A utilização da técnica do cultivo integrado de animais e algas representa uma proposta favorável a um ecossistema mais equilibrado porque

A) os animais eliminam metais pesados, que são usados pelas algas para a síntese de biomassa.

B) os animais fornecem excretas orgânicos nitrogenados, que são transformados em gás carbônicos pelas algas.

C) as algas usam os resíduos nitrogenados liberados pelos animais e eliminam gás carbônico na fotossíntese, usado na respiração aeróbica.

D) as algas usam os resíduos nitrogenados provenientes do metabolismo dos animais e, durante a síntese de compostos orgânicos, liberam oxigênio para o ambiente.

E) as algas aproveitam os resíduos do metabolismo dos animais e, durante a quimiossíntese de compostos orgânicos, liberam oxigênio para o ambiente.


Resolução

É imediato. As algas usam os resíduos nitrogenados provenientes do metabolismo dos animais e, durante a síntese de compostos orgânicos, pela fotossíntese, liberam oxigênio para o ambiente.

Questão 2 — UFPA

Um professor de Matemática, ao lecionar Teoria dos Conjuntos em uma certa turma, realizou uma pesquisa sobre as preferências clubísticas de seus n alunos, tendo chegado ao seguinte resultado:

• 23 alunos torcem pelo Paysandu Sport Club;
• 23 alunos torcem pelo Clube do Remo;
• 15 alunos torcem pelo Clube de Regatas Vasco da Gama;
• 6 alunos torcem pelo Paysandu e pelo Vasco;
• 5 alunos torcem pelo Vasco e pelo Remo.

Se designarmos por A o conjunto dos torcedores do Paysandu, por B o conjunto dos torcedores do Remo e por C o conjunto dos torcedores do Vasco, todos da referida turma, teremos, evidentemente, A ∩ B = Ø. Concluímos que o número n de alunos desta turma é

(A)49.
(B)50.
(C)47.
(D)45.
(E)46.

+ para melhorar o seu preparo no ENEM

Resolução

Questão 3 — EXTRA

A negação da proposição:

"Passo férias na praia ou estudo em casa"

É:


A) Passo férias no interior e não estudo em casa.
B) Passo férias no interior ou não estudo em casa..
C) Não estudo em casa e não tenho férias.
D) Não estudo em casa e não passo férias na praia.
E) Não passo férias na praia ou não estudo em casa.


Resolução

A negação de proposições do tipo "p ou q" é "~p e ~q". Lembre-se que "~p e ~q" e "~q e ~p" são equivalentes.

Onde ~p é a negação de p. Onde ~q é a negação de q.

Questão 4 — EXTRA

Um produto é vendido à vista por R$ 900,00 com desconto de 10% ou em 3 parcelas mensais de R$ 300,00 (+30 dias, +60 dias e +90 dias).

Qual é, aproximadamente, a taxa mensal de juros da compra parcelada?

A) `3,33%`

B) `5,46%`

C) `5%`

D) `1,11%`

E) `10%`


Resolução

Para o pagamento do valor à vista é dado um desconto de 10%, ou seja, `900*0,90= 810` (clique aqui e saiba mais sobre descontos)

Para se calcular a taxa de juros mensal sobre a forma de pagamento em 3 parcelas, ajuda imaginar que se tenha tomado emprestado RS810,00 e o saldo devedor deverá ser liquidado em 3 meses, com 3 parcelas iguais a RS300,00.

Apenas sobre o saldo devedor incide os juros mensais, que vou chamar de `i`; onde, por exemplo, com `i=0,06` significa juros de `6%`a.m. (ao mês). Repare que `0,06=6/100=6%`.

Economizaremos significativamente na notação nos próximos cálculos se usarmos o fator de correção `F` que acomoda a conta com aumento percentual de `i`.

`F=1+i`

Vejo o fluxo de pagamentos:

a) valor à vista RS810,00

b) 3 parcelas de RS300,00

 
Valor Pago (RS)
Saldo Devedor (RS)
Hoje
`0`
`810`
+30 dias
`300`
`810*F - 300`(1)
+60 dias
`300`
`(810*F - 300)*F-300`(2)
+90 dias
`300`
`((810*F - 300)*F-300)*F-300`(3)

(1) Nesta data, o valor `810` ficou em aberto por 30 dias. Logo, aplica-se os juros `i`, aumentanto o seu valor para `810*(1+i)`, ou seja, `810*F`. Abate-se, pelo atual pagamento, RS300,00.

(2) Nesta data, o valor do saldo devedor `810,00*F - 300` ficou em aberto por 30 dias. Logo, aplica-se os juros `i`, aumentanto o seu valor para `(810,00*F - 300)*(1+i)`, ou seja, `(810,00*F - 300)*F`. Abate-se, pelo atual pagamento, RS300,00.

(3) Nesta data, o valor do saldo devedor `(810*F - 300)*F-300` ficou em aberto por 30 dias. Logo, aplica-se os juros `i`, aumentanto o seu valor para `((810*F - 300)*F-300)*(1+i)`, ou seja, `((810*F - 300)*F-300)*F`. Abate-se, pelo atual pagamento, RS300,00.

 

Como depois de 90 dias o saldo devedor precisa ser zerado, temos que `((810*F - 300)*F-300)*F-300=0`

`((810*F - 300)*F-300)*F-300=0`

`(810*F - 300)*F^2-300*F-300=0`

`810*F^3 - 300*F^2-300*F-300=0`

`\frac{810*F^3 - 300*F^2-300*F-300}{30}=0/30`

`27*F^3 - 10*F^2-10*F-10=0`

 

Esta não é uma equação polinomial elementar, para resolvê-la precisa-se de método numérico. Usando a ferramenta Equação do 3º Grau, chega-se na única resposta real `F=1,05458`. Como `F=1+i`, então `i=0,0546`

Taxa mensal aproximada de `5,46`.

Questão 5 — EXTRA

Dado que `(a_1, a_2, a_3, a_4, a_5)` é uma PG de razão `q`, com `q != 1` e `a_1 != 0`, cuja soma é `S`. Obter `1/a_1 + 1/a_2 +1/a_3+1/a_4+1/a_5` em função de `S` e `q`.


a) `\frac{q^10+2q^5+1}{S*(q^6-2q^5+q^4)}`

b) `\frac{q^10-2q^5+1}{S*(q^6-2q^5+q^4)}`

c) `\frac{q^10-2q^5-1}{S*(q^6-2q^5+q^4)}`

d) `\frac{q^10-2q^5+1}{S*(q^6-2q^5-q^4)}`

e) `\frac{q^10+2q^5+1}{S*(q^6+2q^5+q^4)}`


Resolução

Numa PG qualquer o produto dos termos equidistantes é sempre igual. Isso quer dizer, por exemplo:

`(2, 4, 8, 16, 32)_{\text{PG}}` temos `2*32=4*16=8*8`.

Assim, em `(a_1, a_2, a_3, a_4, a_5)_{\text{PG}}` temos

`a_1*a_5=a_2*a_3=a_2*a_4 = a_3*a_3` (I)

 

Foi dado que:

`a_1 + a_2 + a_3+a_4+a_5 = S` (II)

Sendo assim:

`1/a_1 + 1/a_2 +1/a_3+1/a_4+1/a_5 =`

`\frac{ (a_2 *a_3*a_4*a_5)+(a_1 *a_3*a_4*a_5)+(a_1 * a_2 *a_4*a_5)+ ... }{a_1 * a_2 *a_3*a_4*a_5} `

`\frac{ ... +(a_1 * a_2 *a_3*a_5)+(a_1 * a_2 *a_3*a_4)}{a_1 * a_2 *a_3*a_4*a_5} ` (III)

Cada parcela do numerador:

`(a_2 *a_3*a_4*a_5) = (a_2 *a_4)*a_3*a_5 = (a_3*a_3)*a_3*a_5=(a_3)^3*a_5`

`(a_1 *a_3*a_4*a_5) = (a_1 *a_5)*a_3*a_4 = (a_3*a_3)*a_3*a_4=(a_3)^3*a_4`

`(a_1 * a_2 *a_4*a_5) = (a_1 *a_5)*(a_2*a_4) = (a_3*a_3*a_3)*a_3=(a_3)^3*a_3`

`(a_1 * a_2 *a_3*a_5) = (a_1 *a_5)*a_3*a_2 = (a_3*a_3)*a_3*a_2=(a_3)^3*a_2`

`(a_1 * a_2 *a_3*a_4) = (a_2 *a_4)*a_3*a_1 = (a_3*a_3)*a_3*a_1=(a_3)^3*a_1`

 

O denominador pode ser reescrito como:

`a_1 * a_2 *a_3*a_4*a_5 = (a_1 * a_5) *(a_2*a_4)*a_3 = (a_3)^5`

 

Voltando em (III) com esses últimos resultados:

`\frac{ ((a_3)^3*a_5)+((a_3)^3*a_4)+((a_3)^3*a_3)+((a_3)^3*a_2)+((a_3)^3*a_1)}{(a_3)^5} =`

`\frac{ (a_3)^3*((1*a_5)+(1*a_4)+(1*a_3)+(1*a_2)+(1*a_1))}{(a_3)^5} =`

`\frac{ a_5+a_4+a_3+a_2+a_1}{(a_3)^2} =\frac{S}{(a_3)^2}`

 

Temos que `a_3=a_1*q^2`:

`\frac{S}{(a_3)^2}=\frac{S}{(a_1*q^2)^2}`

 

Como, numa PG de 5 termos, `S = a_1*\frac{1-q^5}{1-q}`, ou seja, `a_1 =S*\frac{1-q}{1-q^5}`

 

`\frac{S}{(a_1*q^2)^2}=\frac{S}{(S*\frac{1-q}{1-q^5}*q^2)^2}=\frac{1}{S*(\frac{1-q}{1-q^5}*q^2)^2}=\frac{(1-q^5)^2}{S*((1-q)^2*q^4)`

Finalmente:

`1/a_1 + 1/a_2 +1/a_3+1/a_4 +1/a_5=\frac{(1-q^5)^2}{S*((1-q)^2*q^4)}=\frac{q^10-2q^5+1}{S*(q^6-2q^5+q^4)}`