Lista de Exercícios Resolvidos - Matemática

Questão 1 — ENEM

Um dos principais objetivos de se dar continuidade às pesquisas em erosão dos solos é o de procurar resolver os problemas oriundos desse processo, que, em última análise, geram uma série de impactos ambientais. Além disso, para a adoção de técnicas de conservação dos solos, é preciso conhecer como a água executa seu trabalho de remoção, transporte e deposição de sedimentos. A erosão causa, quase sempre, uma série de problemas ambientais, em nível local ou até mesmo em grandes áreas.

GUERRA, A. J. T. Processos erosivos nas encostas. In: GUERRA, A. J. T.; CUNHA, S. B. Geomorfologia:
uma atualização de bases e conceitos. Rio de Janeiro: Bertrand Brasil, 2007 (adaptado).

A preservação do solo, principalmente em áreas de encostas, pode ser uma solução para evitar catástrofes em função da intensidade de fluxo hídrico. A prática humana que segue no caminho contrário a essa solução é

A) a aração

B) o terraceamento

C) o pousio

D) a drenagem

E) o desmatamento


Resolução

A prática oposta à preservação do solo é o desmatamento. A existência das matas nas encostas diminui o impacto do carregamento do solo pela ação da força do movimento da água pela gravidade.

Questão 2 — EXTRA

Dada a função `f: [3, +oo] rarr \mathbb{R}_+ `, com `f^(-1)(x) = x^2 -6x + 9`. Obtenha a lei da sua função inversa `f^(-1)`.

(A) `f^(-1)(x) = 3 +\sqrt{x}`
(B) `f^(-1)(x) = 3 -\sqrt{x}`
(C) `f^(-1)(x) = -3 +\sqrt{x}`
(D) `f^(-1)(x) = -3 -\sqrt{x}`
(E) `f^(-1)(x) = - x^2 +6x - 9`

+ para melhorar o seu preparo no ENEM

Resolução

`f(x) = x^2 -6x + 9 `

`y = x^2 -6x + 9`

`0 = x^2 -6x + 9 - y`

Assim, temos `x^2 -6x + 9 - y = 0`.

`\Delta = b^2 - 4a(c-y) = (-6)^2 - 4*1*(9-y) = 36 -36+4y=4y`

`x_(1,2) = \frac{-b +- \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-(-6) +- \sqrt{4y}}{2*1}`

`x_(1,2) = \frac{6 +- \sqrt{4y}}{2} = \frac{6}{2} +-2\frac{\sqrt{y}}{2} = 3 +-\sqrt{y}`

`x_(1,2) = 3 +-\sqrt{y}`

Como o domínio da função é [3, +∞[ então o valor do x pertence a um intervalo onde os valores de x são maiores ou iguais a 3. Portanto o conveniente é o x1.

`x_1 = 3 +\sqrt{y}`

Logo,

`f^(-1)(x) = 3 +\sqrt{x}`

Questão 3 — ENEM

Um tipo de vaso sanitário que vem substituindo as válvulas de descarga está esquematizado na figura. Ao acionar a alavanca, toda a água do tanque é escoada e aumenta o nível no vaso, até cobrir o sifão. De acordo com o Teorema de Stevin, quanto maior a profundidade, maior a pressão. Assim, a água desce levando os rejeitos até o sistema de esgoto. A válvula da caixa de descarga se fecha e ocorre o seu enchimento. Em relação às válvulas de descarga, esse tipo de sistema proporciona maior economia de água.

Faça você mesmo. Disponível em:
http://www.facavocemesmo.net. Acesso em: 22 jul. 2010.

A característica de funcionamento que garante essa economia é devida

A) à altura do sifão de água.

B) ao volume do tanque de água.

C) à altura do nível de água no vaso.

E) à eficiência da válvula de enchimento do tanque.

D) ao diâmetro do distribuidor de água.


Resolução

Os modelos mais antigos onde a válvula de descarga era afixada da parede consumiam em média de 12 a 15 litros de água por descarga.

O modelo com caixa acoplada possui um gasto fixo de 6 litros por descarga, normatizado pela NBR 15.097/04, permitindo uma economia sensível de água em relação aos modelos mais antigos.

Questão 4 — EXTRA

A figura abaixo representa um triângulo `ABC`, com `AB=5`, `BE=y`, `EC=4`, `CF=x` e `AF=6-x`. O ponto `D` é incentro do triângulo `ABC`.

 

`x + y =`

A) `199/30`

B) `766/111`

C) `4`

D) `511/3`

E) `13/2`


Resolução

Uma vez que o ponto `A` é incentro, ele representa o ponto de encontro das bissetrizes internas do triângulo `ABC`.

Pelo Teorema das Bissetrizes Internas, temos que:

Da bissetriz `\vec{AE}`:

`\frac{AB}{BE} = \frac{CA}{EC}`

`\frac{5}{y} = \frac{(6 - x) + x}{4}`

`\frac{5}{y} = \frac{6}{4}`

`y=10/3`

Da bissetriz `\vec{BF}`:

`\frac{BA}{AF} = \frac{BC}{CF}`

`\frac{6}{6-x} = \frac{y+4}{x}`

Como `y=10/3`

`\frac{5}{6-x} = \frac{10/3+4}{x}`

`x=132/37`

Portanto `x+y=132/37+10/3=766/11`.

Questão 5 — ENEM

O Centro-Oeste apresentou-se como extremamente receptivo aos novos fenômenos da urbanização, já que era praticamente virgem, não possuindo infraestrutura de monta, nem outros investimentos fixos vindos do passado. Pôde, assim, receber uma infraestrutura nova, totalmente a serviço de uma economia moderna.

SANTOS, M. A Urbanização Brasileira. São Paulo: EdUSP, 2005 (adaptado).

O texto trata da ocupação de uma parcela do território brasileiro. O processo econômico diretamente associado a essa ocupação foi o avanço da

A) industrialização voltada para o setor de base.

B) economia da borracha no sul da Amazônia.

C) fronteira agropecuária que degradou parte do cerrado.

D) exploração mineral na Chapada dos Guimarães.

E) extrativismo na região pantaneira.


Resolução

A expansão da fronteira agropecuária sobre as áreas do cerrado foi uma das causas da ocupação dessa região. Motivados pela melhoria do solo do cerrado por um processo chamado Calagem (Calagem é uma etapa do preparo do solo para cultivo agrícola na qual se aplica calcário com os objetivos de elevar os teores de cálcio e magnésio, neutralização do alumínio trivalente (elemento tóxico para as plantas) e corrigir o pH do solo, para um desenvolvimento satisfatório das culturas) a região do Centro-Oeste se tornou um grande polo de atração agrícola em meados dos anos 60.