Lista de Exercícios Resolvidos - Matemática

Questão 1 — ENEM

Movimento dos Caras-Pintadas

Disponível em: http://www1.folha.uol.com.br. Acesso em: 17 abr. 2010 (adaptado).

O movimento representado na imagem, do início dos anos de 1990, arrebatou milhares de jovens no Brasil. Nesse contexto, a juventude, movida por um forte sentimento cívico,

A) aliou-se aos partidos de oposição e organizou a campanha Diretas Já.

B) manifestou-se contra a corrupção e pressionou pela aprovação da Lei da Ficha Limpa.

C) engajou-se nos protestos relâmpago e utilizou a internet para agendar suas manifestações.

D) espelhou-se no movimento estudantil de 1968 e protagonizou ações revolucionárias armadas.

E) tornou-se porta-voz da sociedade e influenciou no processo de impeachment do então presidente Collor.


Resolução

Confiante que a população lhe daria apoio, Fernando Collor, depois de variadas denúncias de corrupção, pediu à nação brasileira em 1992 que manifestasse seu apoio ao presidente colocando uma bandeira brasileira (ou as cores verde/amarelo) em frente aos seus lares ou uma faixa preta caso houvesse repúdio ao seu governo. Jovens foram às ruas de diversas cidades do Brasil vestindo preto e usando as cores verde e amarelo pintadas no rosto, muitas das vezes, e que ficariam conhecidos como caras-pintadas. Mostrando que a população brasileira (verde/amarelo) manifestava repúdio total à corrupção (preto) que o levou posteriormente ao impeachment.

Questão 2 — EXTRA

Encontre o valor de x:

(A) 12

(B) 2

(C) 12/7

(D) 5/12

(E) 12/5

+ para melhorar o seu preparo no ENEM

Resolução

Como temos duas cordas que se encontram, então (veja o motivo) :

1 · (x + 5) = x · 13

x + 5 = 13x

12x = 5

x = 5/12.

Questão 3 — ENEM

Para o reflorestamento de uma área, deve-se cercar totalmente, com tela, os lados de um terreno, exceto o lado margeado pelo rio, conforme a figura. Cada rolo de tela que será comprado para confecção da cerca contém 48 metros de comprimento.

A quantidade mínima de rolos que deve ser comprada para cercar esse terreno é

A) 6

B) 7

C) 8

D) 11

E) 13


Resolução

De acordo com a figura, o comprimento total de tela é `81m + 190m + 81m = 352m`. Como cada rolo tem `48m`, temos que a quantidade necessária de rolos é `\frac{352}{48} = 7,333...`.

Portanto, a menor quantidade de rolos é 8.

Questão 4 — ENEM

Disponível em: http://www.diaadia.pr.gov.br. Acesso em: 28 abr. 2010.

O polígono que dá forma a essa calçada é invariante por rotações, em torno de seu centro, de

A) 45°.

B) 60°.

C) 90°.

D) 120°.

E) 180°.


Resolução

O piso é formado por uma combinação de 3 hexágonos regulares.

A rotação pelo centro do polígono, indicado pelo ponto verde, é invariante pelo giro de 120º.

Questão 5 — EXTRA

Calcule o valor numérico de `\frac{1}{10M}`, sabendo que `M+2=\sqrt{ \frac{a^2 }{b^2} +\frac{b^2}{a^2} + 2}`, `a=0,998` e `b=1`.

A) `249.500`
B) `24 950`
C) `2 495`
D) `249,5`
E) `24,49`


Resolução

Comentários Iniciais

Para que uma raíz quadrada seja simplicada pura e simplesmente pelo seu radicando, basta que seja possível reescrever (manipular algébricamente) o radicando de modo que ele seja uma potência de 2.

Podem ser diretamente simplificados, por exemplo:

`\sqrt{3^2}=3`

Nos exemplos literais a seguir sempre com `x >=0`, `y>=0` e `z>0`.

`\sqrt{x^2}=x`

`\sqrt{x^2*y^2}=x*y`

`\sqrt{\frac{x^2}{y^2}}=x/y`

`sqrt{\frac{x^2*y^2}{z^2}}=\frac{x*y}{z}`

Dado:

`M+2 = \sqrt{ \frac{a^2 }{b^2} +\frac{b^2}{a^2} + 2}`

Assim

`M= \sqrt{ \frac{a^2 }{b^2} +\frac{b^2}{a^2} + 2} - 2`

`M =``\sqrt{ \frac{a^2 }{b^2} + 2 +\frac{b^2}{a^2}}-2`

Pois bem...

`M =`` \sqrt{(a/b+b/a)^2} - 2`

Segue que:

`M =``a/b+b/a-2`

`M = ``\frac{a^2+b^2-2ab}{ab} `

`M = ``\frac{a^2-2ab+ b^2}{ab} `

`M = ``\frac{(a-b)^2}{ab} `

Vamos usar `a=0,998` e `b=1`:

`M = ``\frac{(0,998-1)^2}{0,998*1} `

`M = ``\frac{(-0.002)^2}{0,998} `

`M = ``\frac{(-2/1000)^2}{998/1000} `

`M = ``\frac{4/1000^2}{998/1000} `

`M = ``\frac{4/1000}{998} `

`M = ``\frac{4}{1000*998} `

`M = ``\frac{4}{4*250*998} `

`M = ``\frac{1}{250*998} `

`M = ``\frac{1}{249500} `

Assim:

`\frac{1}{10M} = \frac{1}{10*\frac{1}{249500}}=\frac{249 500}{10} = 24 950`






Observações:

`\sqrt{A}`: `A` é o radicando (o número que se 'tira' a raíz). Lê-se: "Raiz Quadrada de A"

Exemplo

`\sqrt{x+y^3}`: o radicando é `x+y^3`

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Potência de 2, são números elevados ao quadrado.

`B^2`: `B` é a base da potência de 2. Lê-se: "B elevado ao quadrado".

Exemplos

`3^2`

`x^2`

`(x+2z-3)^2`


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Produtos Notáveis

Trinômio Quadrado Perfeito (ambos):

`(A+B)^2 = A^2 + 2AB + B^2`

`(A-B)^2 = A^2 - 2AB + B^2`


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