Lista de Exercícios Resolvidos - Matemática

Questão 1 — ESPM

Para que a sequência `(-9, -5, 3)` se transforme numa progressão geométrica, devemos somar a cada um dos seus termos um certo número. Esse número é

A) par
B) quadrado perfeito
C) primo
D) maior que 15
E) não inteiro


Resolução

Para que três números `(x,y,z)` (nenhum valor é nulo) estejam em progressão geométrica, basta que o quociente entre dois elementos consecutivos seja constante, ou seja `y/x=z/y`.

Ao adicionarmos um valor fixo `t` a cada elemento da sequência `(-9, -5, 3)` ela passa a formar uma progressão geométrica. Sendo `(-9+t, -5+t, 3+t)` uma progressão geométrica, temos:

`\frac{-5+t}{-9+t}=\frac{3+t}{-5+t}`

`(-5+t)(-5+t)=(3+t)(-9+t)`

`t^2-10t+25=t^2-6t-27`

`t=13`

Repare que 13 é um número primo.

Questão 2 — ENEM

O processo de interpretação de imagens capturadas por sensores instalados a bordo de satélites que imageiam determinadas faixas ou bandas do espectro de radiação eletromagnética (REM) baseiam-se na interação dessa radiação com os objetos presentes sobre a superfície terrestre. Uma das formas de avaliar essa interação é por meio da quantidade de energia refletida pelos objetos. A relação entre a refletância de um dado objeto e o comprimento de onda da REM é conhecida como curva de comportamento espectral ou assinatura espectral do objeto, como mostrado na figura, para objetos comuns na superfície terrestre.

comprimento de onda (μm)

 

D’ARCO, E. Radiometria e Comportamento Espectral de Alvos. INPE.
Disponível em: http://www.agro.unitau.br. Acesso em: 3 maio 2009.

 

De acordo com as curvas de assinatura espectral apresentadas na figura, para que se obtenha a melhor discriminação dos alvos mostrados, convém selecionar a banda correspondente a que comprimento de onda em micrômetros (μm)?

A) 0,4 a 0,5.

B) 0,5 a 0,6.

C) 0,6 a 0,7.

D) 0,7 a 0,8.

E) 0,8 a 0,9.

+ para melhorar o seu preparo no ENEM

Resolução

Para obter-se a melhor distinção dos alvos, convém selecionar bandas de comprimentos de onda cujas porcentagens de refletância são diferentes para materiais diferentes.

Além disso, as porcentagens de refletância não devem ser muito próximas entre si.

Pela curva de comportamento espectral apresentada, a banda mais apropriada é a que corresponde aos comprimentos de onda entre 0,8 e 0,9 μm.

Questão 3 — FUVEST

O número real `x`, com `0<x<\pi` satisfaz a equação

`log_3(1-cosx)+log_3(1+cosx)=-2`

então `cos2x+\text{sen}x` vale:

a) `1/3`

b) `2/3`

c) `7/9`

d) `8/9`

e) `10/9`


Resolução

Dado que

`log_3(1-cosx)+log_3(1+cosx)=-2`

Da propriedade dos logaritmos `log_bA + log_bB=log_bAB`, para `A>0`, `B>0`, `b>0` e `b !=1`

`log_3[(1-cosx)(1+cosx)]=-2`

`3^(-2)=(1-cosx)(1+cosx)`

`1/9=1-cos^2x`

`:.1-cos^2x=1/9`

 

Da Relação Fundamental `sen^2A+ cos^2A=1` temos que `sen^2x+ cos^2x=1<=>1-cos^2x=\text{sen}^2x`

`1-cos^2x=1/9`

`\text{sen}^2x=1/9`

`:. cos^2x=8/9`

 

Para obter o resultado de `cos2x+\text{sen}x` procurado, precisaremos de duas informações:

1. Que `cos2x=cos^2x- \text{sen}^2x` e

2. O valor de ` \text{sen}x`.

Como `0<x<\pi`

`\text{sen}^2x=1/9 => \text{sen}x=1/3`

Portanto

`cos2x``+\text{sen}x=``cos^2x- \text{sen}^2x``+\text{sen}x`

`cos2x+\text{sen}x``=8/9- 1/9+1/3=10/9`

Questão 4 — ENEM

Disponível em: http://primeira-serie.blogspot.com.br.
Acesso em: 07 dez. 2011 (adaptado).

Na imagem do início do século XX, identifica-se um modelo produtivo cuja forma de organização fabril baseava-se na

 

A) autonomia do produtor direto.

B) adoção da divisão sexual do trabalho.

C) exploração do trabalho repetitivo.

D) utilização de empregados qualificados.

E) incentivo à criatividade dos funcionários.


Resolução

A fotografia retrata operários alinhados para a execução de uma tarefa em série, repetitiva e predeterminada.

Questão 5 — EXTRA

O maior número real que satisfaz a equação x3 + 4x2 – x – 4 = 0 é:

(A) 4.
(B) 2.
(C) -1.
(D) -4.
(E) 1.


Resolução
x3 + 4x2 – x – 4 = 0 Equação dada.
x2·(x + 4) – 1·(x + 4) = 0 Agrupamos os termos.
(x + 4)·(x2 – 1) = 0 Colocamos em evidência (x + 4).
(x + 4)·(x – 1)·(x + 1)= 0 Uma vez que (x2 – 1) = (x – 1)(x + 1).

x + 4 = 0 ⇔ x = – 4

x – 1 = 0 ⇔ x = 1

x + 1 = 0 ⇔ x = – 1

Igualando cada fator a zero.

O maior numero real que satisfaz a equação dada é 1.