Lista de Exercícios Resolvidos - Matemática

Questão 1 — FUVEST

O segmento `\bar{AB}` é lado de um hexágono regular de área `\sqrt{3}`. O ponto `P` pertence à mediatriz de `\bar{AB}` de tal modo que a área do triângulo `PAB` vale `\sqrt{2}`. Então, a distância de `P` ao segmento `\bar{AB}` é igual a

a) `\sqrt{2}`

b) `2\sqrt{2}`

c) `3\sqrt{2}`

d) `\sqrt{3}`

e) `2\sqrt{3}`


Resolução

A área de um hexágono regular de lado `x` é 6 vezes a área de um triângulo equilátero de lado `x`. A área de um triángulo equilátero vale `\frac{x^2\sqrt{3}}{4}` (este resultado ou você deduz em separado ou você se lembra...). Este caminho de raciocínio pode ser útil se você não se recordar diretamente da área de um hexágono regular (`3*\frac{x^2\sqrt{3}}{2}`).

Ou seja: `6*\frac{x^2\sqrt{3}}{4}=3*\frac{x^2\sqrt{3}}{2}`.

Como foi enunciado que essa área é `\sqrt{3}`, temos:

`3*\frac{x^2\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}`

`x^2=\frac{2}{3}`

`x>0`

`x=\sqrt{\frac{2}{3}}`

`x=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}`

Sendo `AB` a medida do lado do hexágono em referência, temos:

`AB=x=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}`.

A mediatriz de `\bar{AB}` é o Lugar Geométrico dos pontos no plano que equidistam de `A` e `B`; a intersecão dessa mediatriz com o lado `\bar{AB}` determina o ponto `M`, médio de `\bar{AB}` e perpendicular a `\bar{AB}`.

A distância de `P` a `M` será denominado por `d` e que é a própria altura do triângulo `PAB`.

A área deste triângulo foi dada como `\sqrt{2}`. Portanto:

`\frac{\text{base}*\text{altura}}{2}=\sqrt{2}`

`\frac{AB*d}{2}=\sqrt{2}`

`\frac{\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}*d}{2}=\sqrt{2}`

`\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}*d=2\sqrt{2}`

`d=2\sqrt{3}`

Questão 2 — ENEM

Movimento dos Caras-Pintadas

Disponível em: http://www1.folha.uol.com.br. Acesso em: 17 abr. 2010 (adaptado).

O movimento representado na imagem, do início dos anos de 1990, arrebatou milhares de jovens no Brasil. Nesse contexto, a juventude, movida por um forte sentimento cívico,

A) aliou-se aos partidos de oposição e organizou a campanha Diretas Já.

B) manifestou-se contra a corrupção e pressionou pela aprovação da Lei da Ficha Limpa.

C) engajou-se nos protestos relâmpago e utilizou a internet para agendar suas manifestações.

D) espelhou-se no movimento estudantil de 1968 e protagonizou ações revolucionárias armadas.

E) tornou-se porta-voz da sociedade e influenciou no processo de impeachment do então presidente Collor.

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Resolução

Confiante que a população lhe daria apoio, Fernando Collor, depois de variadas denúncias de corrupção, pediu à nação brasileira em 1992 que manifestasse seu apoio ao presidente colocando uma bandeira brasileira (ou as cores verde/amarelo) em frente aos seus lares ou uma faixa preta caso houvesse repúdio ao seu governo. Jovens foram às ruas de diversas cidades do Brasil vestindo preto e usando as cores verde e amarelo pintadas no rosto, muitas das vezes, e que ficariam conhecidos como caras-pintadas. Mostrando que a população brasileira (verde/amarelo) manifestava repúdio total à corrupção (preto) que o levou posteriormente ao impeachment.

Questão 3 — ENEM

Um paciente deu entrada em um pronto-socorro apresentando os seguintes sintomas: cansaço, dificuldade em respirar e sangramento nasal. O médico solicitou um hemograma ao paciente para definir um diagnóstico.

Os resultados estão dispostos na tabela:

Constituinte

Número normal

Paciente

Glóbulos vermelhos
4,8 milhões/mm³
4 milhões/mm³
Glóbulos brancos
(5 000 -10 000)/mm³
9 000/mm³
Plaquetas
(250 000 - 400 000)/mm³
200 000/mm³

TORTORA, G. J. Corpo Humano: fundamentos de anatomia e fisiologia.
Porto Alegre: Artmed, 2000 (adaptado).

Relacionando os sintomas apresentados pelo paciente com os resultados de seu hemograma, constata-se que

A) o sangramento nasal é devido à baixa quantidade de plaquetas, que são responsáveis pela coagulação sanguínea.

B) o cansaço ocorreu em função da quantidade de glóbulos brancos, que são responsáveis pela coagulação sanguínea.

C) a dificuldade respiratória decorreu da baixa quantidade de glóbulos vermelhos, que são responsáveis pela defesa imunológica.

D) o sangramento nasal é decorrente da baixa quantidade de glóbulos brancos, que são responsáveis pelo
transporte de gases no sangue.

E) a dificuldade respiratória ocorreu pela quantidade de plaquetas, que são responsáveis pelo transporte de oxigênio no sangue.


Resolução

Pelos resultados apresentados na tabela, observa-se a baixa contagem de plaquetas (200.000/ mm³) onde o normal é estar entre 250.000/mm³ e 400.000/mm³.

As plaquetas participam do processo de coagulação sanguínea. A baixa quantidade do número de plaquetas permite o eventual sangramento até por pequenos cortes.

Constituinte

Número normal

Paciente

Glóbulos vermelhos
4,8 milhões/mm³
4 milhões/mm³
Glóbulos brancos
(5.000-10.000)/mm³
9.000/mm³
Plaquetas
de 250.000/mm³ a 400.000/mm³
200.000/mm³

Supondo suficiente para conclusão do diagnóstico a análise deste hemograma, nele o fator responsável pelo sangramento nasal é a baixa contagem de plaquetas.

Questão 4 — ENEM

O hipertexto refere-se à escritura eletrônica não sequencial e não linear, que se bifurca e permite ao leitor o acesso a um número praticamente ilimitado de outros textos a partir de escolhas locais e sucessivas, em tempo real. Assim, o leitor tem condições de definir interativamente o fluxo de sua leitura a partir de assuntos tratados no texto sem se prender a uma sequência fixa ou a tópicos estabelecidos por um autor. Trata-se de uma forma de estruturação textual que faz do leitor simultaneamente coautor do texto final. O hipertexto se caracteriza, pois, como um processo de escritura/leitura eletrônica multilinearizado, multissequencial e indeterminado, realizado em um novo espaço de escrita. Assim, ao permitir vários níveis de tratamento de um tema, o hipertexto oferece a possibilidade de múltiplos graus de profundidade simultaneamente, já que não tem sequência definida, mas liga textos não necessariamente correlacionados.

MARCUSCHI, L. A. Disponível em: http://www.pucsp.br. Acesso em: 29 jun. 2011.

O computador mudou nossa maneira de ler e escrever, e o hipertexto pode ser considerado como um novo espaço de escrita e leitura. Definido como um conjunto de blocos autônomos de texto, apresentado em meio eletrônico computadorizado e no qual há remissões associando entre si diversos elementos, o hipertexto

A) é uma estratégia que, ao possibilitar caminhos totalmente abertos, desfavorece o leitor, ao confundir os conceitos cristalizados tradicionalmente.

B) é uma forma artificial de produção da escrita, que, ao desviar o foco da leitura, pode ter como consequência o menosprezo pela escrita tradicional.

C) exige do leitor um maior grau de conhecimentos prévios, por isso deve ser evitado pelos estudantes nas suas pesquisas escolares.

D) facilita a pesquisa, pois proporciona uma informação específica, segura e verdadeira, em qualquer site de busca ou blog oferecidos na internet.

E) possibilita ao leitor escolher seu próprio percurso de leitura, sem seguir sequência predeterminada, constituindo- se em atividade mais coletiva e colaborativa.


Resolução

Refletindo-se acerca da internet, os arquivos nos meios eletrônicos programados em HTML ou similares para observação via navegadores permitem a exibição de links. Links que nada mais são do que objetos que permitem o acesso a outros arquivos digitais - sejam remotos ao aparelho dos usuários ou locais (computador do leitor).

Esses links não direcionam necessariamente a outros textos, direcionam a arquivos. Esses arquivos, eventualmente, podem ser textos. O conjunto dos arquivos cujo teor seja predominantemente formado por textos e textos relacionados é um hipertexto, definido a partir do interesse do leitor uma vez que requer a sua livre ação (clicar) em links para carregar os arquivos.

O leitor pode “escolher seu próprio percurso de leitura”, o que torna sua atividade mais “coletiva e colaborativa”, conforme se afirma na alternativa E.

Questão 5 — EXTRA

Obtenha o valor da expressão:

`(2*log_{2}16 - log_{0,5}16)*log_{0,25}2`

(A) `12`
(B) `-12`
(C) `6`
(D) `-6`
(E) `0`


Resolução

De:

`(2*log_{2}16 - log_{0,5}16)*log_{0,25}2`



Passemos todos os logaritmos para a mesma base `2` (e simplificando):

`log_{0,5}16 = log_{1/2}16= \frac{log_{2}16}{log_{2}1/2}=\frac{log_{2}2^4}{log_{2}2^-1}= \frac{4*log_{2}2}{(-1)*log_{2}2} = \frac{4}{-1}=-4`

`log_{0,25}2 = log_{1/4}2= \frac{log_{2}2}{log_{2}1/4}=\frac{log_{2}2}{log_{2}2^-2}= \frac{log_{2}2}{(-2)*log_{2}2} =\frac{1}{-2}=-1/2`



Lembre-se, também, que:

`log_{2}16 = log_{2}2^4=4*log_{2}2=4`




Assim, a expressão original:

`(2*log_{2}16 - log_{0,5}16)*log_{0,25}2`

Fica:

`(2*4 - (-4))*(-1/2)=(8+4)(-1/2)=-6`