Lista de Exercícios Resolvidos - Matemática

Questão 1 — ENEM

Um tipo de vaso sanitário que vem substituindo as válvulas de descarga está esquematizado na figura. Ao acionar a alavanca, toda a água do tanque é escoada e aumenta o nível no vaso, até cobrir o sifão. De acordo com o Teorema de Stevin, quanto maior a profundidade, maior a pressão. Assim, a água desce levando os rejeitos até o sistema de esgoto. A válvula da caixa de descarga se fecha e ocorre o seu enchimento. Em relação às válvulas de descarga, esse tipo de sistema proporciona maior economia de água.

Faça você mesmo. Disponível em:
http://www.facavocemesmo.net. Acesso em: 22 jul. 2010.

A característica de funcionamento que garante essa economia é devida

A) à altura do sifão de água.

B) ao volume do tanque de água.

C) à altura do nível de água no vaso.

E) à eficiência da válvula de enchimento do tanque.

D) ao diâmetro do distribuidor de água.


Resolução

Os modelos mais antigos onde a válvula de descarga era afixada da parede consumiam em média de 12 a 15 litros de água por descarga.

O modelo com caixa acoplada possui um gasto fixo de 6 litros por descarga, normatizado pela NBR 15.097/04, permitindo uma economia sensível de água em relação aos modelos mais antigos.

Questão 2 — ENEM

A Escala de Magnitude de Momento (abreviada como MMS e denotada como `M_W`), introduzida em 1979 por Thomas Haks e Hiroo Kanamori, substituiu a Escala de Richter para medir a magnitude dos terremotos em termos de energia liberada. Menos conhecida pelo público, a MMS é, no entanto, a escala usada para estimar as magnitudes de todos os grandes terremotos da atualidade. Assim como a escala Richter, a MMS é uma escala
logarítmica.

`M_W=-10,7 +2/3log_10(M_o)`

Onde `M_o` é o momento sísmico (usualmente estimado a partir dos registros de movimento da superfície, através dos sismogramas), cuja unidade é o dina × cm.

O terremoto de Kobe, acontecido no dia 17 de janeiro de 1995, foi um dos terremotos que causaram maior impacto no Japão e na comunidade científica internacional. Teve magnitude `M_W = 7,3`.


U.S. GEOLOGICAL SURVEY. Historic Earthquakes.
Disponível em: http://earthquake.usgs.gov. Acesso em: 1 maio 2010 (adaptado).
U.S. GEOLOGICAL SURVEY. USGS Earthquake Magnitude Policy.
Disponível em: http://earthquake.usgs.gov. Acesso em: 1 maio 2010 (adaptado).

 

Mostrando que é possível determinar a medida por meio de conhecimentos matemáticos, qual foi o momento sísmico `M_o` do terremoto de Kobe (em dina × cm)?

A) `10^(–5,10)`

B) `10^(–0,73)`

C) `10^(12,00)`

D) `10^(21,65)`

E) `10^(27,00)`

+ para melhorar o seu preparo no ENEM

Resolução

Foi informado que `M_W = 7,3`. Usando este dado em:

 

`M_W=-10,7 +2/3log_10(M_o)`

`7,3=-10,7 +2/3log_10(M_o)`

`7,3+10,7=2/3log_10(M_o)`

`18=2/3log_10(M_o)`

`\frac{18*3}{2}=log_10(M_o)`

`27=log_10(M_o)`

 

Usando a propriedade de logaritmos `log_b (a) = c hArr b^c = a` com `a>0, b>0 \text{ e }b !=1`:

`27=log_10(M_o) hArr 10^27 = M_o`

Questão 3 — ENEM

A Floresta Amazônica, com toda a sua imensidão, não vai estar aí para sempre. Foi preciso alcançar toda essa taxa de desmatamento de quase 20 mil quilômetros quadrados ao ano, na última década do século XX, para que uma pequena parcela de brasileiros se desse conta de que o maior patrimônio natural do país está sendo torrado.

AB’SABER, A. Amazônia: do discurso à práxis. São Paulo: EdUSP, 1996.

Um processo econômico que tem contribuído na atualidade para acelerar o problema ambiental descrito é:


A) Expansão do Projeto Grande Carajás, com incentivos à chegada de novas empresas mineradoras.

B) Difusão do cultivo da soja com a implantação de monoculturas mecanizadas.

C) Construção da rodovia Transamazônica, com o objetivo de interligar a região Norte ao restante do país.

D) Criação de áreas extrativistas do látex das seringueiras para os chamados povos da floresta.

E) Ampliação do polo industrial da Zona Franca de Manaus, visando atrair empresas nacionais e estrangeiras.


Resolução

A difusão do cultivo da soja com a implantação de monoculturas mecanizadas e toda a expansão das fronteiras agrícolas na região amazônica é a principal causadora dos problemas ambientais na amazônia.

Questão 4 — ENEM

O saldo de contratações no mercado formal no setor varejista da região metropolitana de São Paulo registrou alta. Comparando as contratações deste setor no mês de fevereiro com as de janeiro deste ano, houve incremento de 4 300 vagas no setor, totalizando 880 605 trabalhadores com carteira assinada.

Disponível em: http://www.folha.uol.com.br. Acesso em: 26 abr. 2010 (adaptado).

Suponha que o incremento de trabalhadores no setor varejista seja sempre o mesmo nos seis primeiros meses do ano.

Considerando-se que y e x representam, respectivamente, as quantidades de trabalhadores no setor varejista e os meses, janeiro sendo o primeiro, fevereiro, o segundo, e assim por diante, a expressão algébrica que relaciona essas quantidades nesses meses é

A) `y = 4300x`

B) `y = 884905x`

C) `y = 872005 + 4300x`

D) `y = 876305 + 4300x`

E) `y = 880605 + 4300x`


Resolução

Tomando-se `x` o mês atribuido, por convenção numérica e não nominal: `x=1` por Janeiro, `x=2` por Fevereiro , etc. De janeiro a junho (os seis primeiros meses do ano) há aumento constante de 4300 trabalhadores, por mês, no setor varejista. Ou seja, a taxa de variação do número de trabalhadores de um mês para outro é:

`\frac{\Deltay}{\Deltax} = 4300/1=4300`

A função cuja taxa de variação `\frac{\Deltay}{\Deltax}` é constante é a Função Linear que pode ser expressa pela lei `y = f(x) =ax+b`, onde `a=\frac{\Deltay}{\Deltax}` (coeficiente angular) e `b` uma constante conveniente de ajuste (coeficiente linear).

O gráfico de uma Função Linear, cujo domínio é `RR`, no Plano Cartesiano, é uma reta.

`\frac{\Deltay}{\Deltax} = \text{constante}`

 

Foi dito que em fevereiro temos 880 605 trabalhadores, portanto `f(2) = 880605`. Assim:

`y = f(x) =ax+b`

`y = f(2) =4300*2+b=880605`

`4300*2+b=880605`

`:. b=880605-8600=872005`

Então, para `x in {1, 2, 3, 4, 5, 6}`:

`y = 4300*x+872005`

Cuja alternativa é C.

 

Complementando, o gráfico da função `f: {1, 2, 3, 4, 5, 6} -> RR`, com `f(x) = 4300*x+872005` é um conjunto de pontos colineares (pertencem uma mesma reta):

 

Questão 5 — FUVEST

Um dado cúbico, não viciado, com faces numeradas de 1 a 6, é lançado três vezes. Em cada lançamento, anota-se o número obtido na face superior do dado, formando-se uma sequência (a, b, c). Qual é a probabilidade de que b seja sucessor de a ou que c seja sucessor de b?

a) 4/27
b) 11/54
c) 7/27
d) 10/27
e) 23/54


Resolução

Fazendo um diagrama auxiliar como este:

1º Lançamento (A) 2º Lançamento (B) 3º Lançamento (C)

6 possibilidades

{1, 2, 3, 4, 5, 6}

6 possibilidades

{1, 2, 3, 4, 5, 6}

6 possibilidades

{1, 2, 3, 4, 5, 6}

Portanto o Espaço Amostral tem 6 x 6 x 6 = 63 = 216.

Para o Evento desejado (um número B seja sucessor de A ou que um número C seja sucessor de B), usaremos:

I. Sequências em que B seja sucessor de A:

Destacando que no primeiro lançamento não compareça "6" para que exista um sucessor C.

1º Lançamento (A) 2º Lançamento (B) 3º Lançamento (C)

5 possibilidades

{1, 2, 3, 4, 5}

1 possibilidade

o sucessor de A

6 possibilidades

{1, 2, 3, 4, 5, 6}

Neste caso, 5 x 1 x 6 = 30 possibilidades.

Portanto, P(I) = 30/216.

II. Sequências em que C seja sucessor de B:

Destacando que no segundo lançamento não compareça "6" para que exista um sucessor B.

1º Lançamento (A) 2º Lançamento (B) 3º Lançamento (C)

6 possibilidades

{1, 2, 3, 4, 5, 6}

5 possibilidades

{1, 2, 3, 4, 5}

1 possibilidade

o sucessor de B

Neste caso, 6 x 5 x 1 = 30 possibilidades.

Portanto, P(II) = 30/216.

III. Sequências em que C seja sucessor de B e Sequências em que B seja sucessor de A:

Destacando que no primeiro lançamento não compareça nem "5" e nem "6" para que existam sucessores nas outras posições.

1º Lançamento (A) 2º Lançamento (B) 3º Lançamento (C)

4 possibilidades

{1, 2, 3, 4}

1 possibilidade

o sucessor de A

1 possibilidade

o sucessor de B

Neste caso, 4 x 1 x 1 = 4 possibilidades.

Portanto, P(III) = 4/216.

Lembrando que P(um número B seja sucessor de A ou que um número C seja sucessor de B) = P(um número B seja sucessor de A) + P(um número C seja sucessor de B) - P(um número B seja sucessor de A e que um número C seja sucessor de B) = P(I) + P(II) - P(III) = (30 + 30 - 4)/216 = 56/216 = 7/27.