Lista de Exercícios Resolvidos - Matemática

Questão 1 — EXTRA

Em uma Progressão Aritmética, em que o septuagésimo termo é 300 e o octingentésimo termo é 400, a razão desta PA vale:

(A) 10/73
(B) -10/73
(C) 5/76
(D) 1/800
(E) 1/70.


Resolução

Septuagésimo é o 70° termo e octingentésimo é o 800° termo (saiba mais clique aqui).

Temos que a70 = 300 e com a800 = 400, do Termo Geral de uma PA:

an = ap+ (n - p)·r

Assim

a800 = a70+ (800 - 70)·r

400 = 300 + (730)·r

400 - 300 = (730)·r

100 = 730·r ⇔ r = 100/730 = 10/73

Questão 2 — FUVEST

Num ambiente iluminado, ao focalizar um objeto distante, o olho humano se ajusta a essa situação. Se a pessoa passa, em seguida, para um ambiente de penumbra, ao focalizar um objeto próximo, a íris

a) aumenta, diminuindo a abertura da pupila, e os músculos ciliares se contraem, aumentando o poder refrativo do cristalino.

b) diminui, aumentando a abertura da pupila, e os músculos ciliares se contraem, aumentando o poder refrativo do cristalino.

c) diminui, aumentando a abertura da pupila, e os músculos ciliares se relaxam, aumentando o poder refrativo do cristalino.

d) aumenta, diminuindo a abertura da pupila, e os músculos ciliares se relaxam, diminuindo o poder refrativo do cristalino.

e) diminui, aumentando a abertura da pupila, e os músculos ciliares se relaxam, diminuindo o poder refrativo do cristalino.

+ para melhorar o seu preparo no ENEM

Resolução

Pupila (termo oriundo do latim, pupilla - menininha), ou Menina dos olhos, é a parte do olho, como um orifício de diâmetro regulável, que está situada entre a córnea e o cristalino, e no centro da íris, responsável pela passagem da luz do meio exterior até os órgãos sensoriais da retina. Localiza-se na parte média do olho, ou úvea e tem por função regular a quantidade de luz que passa para a retina.

A pupila é um orifício que regula a entrada de luz. Por ser um orifício, não tem cor, mas sua aparência é preta, pois não há iluminação na parte interna do olho. Estando a pessoa em de luz reduzida tem-se o aumento da pupila (graças à diminuição da íris). A pessoa tentando observar algo com atenção, os músculos ciliares se contraem e, como resultado, aumenta o poder refrativo do cristalino.

Questão 3 — ESPM

As raizes da equação `3x^2+7x-18=0` são `\alpha` e `\beta`. O valor da expressão `\alpha^2\beta + \alpha\beta^2 -\alpha - \beta` é:

 

A) `29/3`

B) `49/3`

C) `31/3`

D) `53/3`

E) `26/3`


Resolução

Da equação dada, destacando-se cada coeficiente:

`3x^2+7x-18=0 <=> {(a = 3),(b=7),(c=-18):}`

Sendo `\alpha` e `\beta` raizes da equação `3x^2+7x-18=0`, temos que:

`{(\alpha + \beta= -b/a) ,(\alpha * \beta= c/a) :}`

`{(\alpha + \beta= -7/3) ,(\alpha * \beta= -18/3) :}`

Da expressão `\alpha^2\beta + \alpha\beta^2 -\alpha - \beta`, temos:

`\alpha^2\beta + \alpha\beta^2 -\alpha - \beta =`

`=\alpha\beta(\alpha+\beta) -(\alpha + \beta) =`

`=(\alpha+\beta)(\alpha\beta-1) = (-7/3)(-18/3-1)=(-7/3)(-21/3)=49/3`

Questão 4 — ENEM

O losango representado na Figura 1 foi formado pela união dos centros das quatro circunferências tangentes, de raios de mesma medida.

Figura 1

Dobrando-se o raio de duas das circunferências centradas em vértices opostos do losango e ainda mantendo- -se a configuração das tangências, obtém-se uma situação conforme ilustrada pela Figura 2.

 

Figura 2

O perímetro do losango da Figura 2, quando comparado ao perímetro do losango da Figura 1, teve um aumento de

A) 300%

B) 200%

C) 150%

D) 100%

E) 50%


Resolução

Na Figura 1, vamos denominar o raio de uma circunferência por `r` (lembre-se que os raios das 4 circunferências foram dados que são iguais). Cada lado do losango terá medida `r+r`. Assim o perímetro do losango é `(r+r)+(r+r)+(r+r)+(r+r) = 8r`.

 

Na figura 2, com o raio de duas das circunferências dobrado, mantido o raio de duas delas, temos que o novo losango tem lado `3r`. Logo o perímetro do losango da figura 2 tem perímetro `12r`

Portanto, uma vez que o perímetro do losango da figura 2 é `12r`, sendo `4r` maior que o perímetro do losango da figura 1, `8r`. Temos que o aumento foi de 50%.

Reparando que `4r` é 50% de `8r`.



 

 

Observe que, com `P_2=12r` e `P_1=8r`:

`\frac{P_2}{P_1}=\frac{12r}{8r}=1,5`

Logo, `P_2 = 1,5*P_1`, 50% maior (veja mais sobre aumento percentual)

Questão 5 — EXTRA

Resolva a inequação


a)
b)
c)
d)


Resolução

Resolução (alternativa D)


Considerando que

,

temos que:


Atribuindo valores para k (inteiros) na inequação anterior para verificação de enquadramento ao intervalo proposto:

k

intervalo

 

-1

não convém

0

convém

1

não convém