Lista de Exercícios Resolvidos - Matemática

Questão 1 — EXTRA

Dada a função real `f: \mathbb{R} rarr \mathbb{R}`, cuja lei é `f(x) = \frac{x + 3}{2}` e seja a sua função inversa denotada por `f^(-1)`. O conjunto solução da equação `f(x) = f^(-1)(x)` é:

(A) `{2}`.
(B) `{-2}`.
(C) `{-3}`.
(D) `{3}`.
(E) `O/`.


Resolução

A equacao `f(x) = f^(-1)(x)` e equivalente a equacao `f(x) = x` pois `f` e `f^(-1)` se interceptam em `y=x`

Assim,

`f(x) = x`

`\frac{x + 3}{2} = x`

`x + 3 = 2*x`

`x -2x = -3`

`-x = -3`

`x = 3`



Portanto, `S = {3}`

Questão 2 — ENEM

Um paciente deu entrada em um pronto-socorro apresentando os seguintes sintomas: cansaço, dificuldade em respirar e sangramento nasal. O médico solicitou um hemograma ao paciente para definir um diagnóstico.

Os resultados estão dispostos na tabela:

Constituinte

Número normal

Paciente

Glóbulos vermelhos
4,8 milhões/mm³
4 milhões/mm³
Glóbulos brancos
(5 000 -10 000)/mm³
9 000/mm³
Plaquetas
(250 000 - 400 000)/mm³
200 000/mm³

TORTORA, G. J. Corpo Humano: fundamentos de anatomia e fisiologia.
Porto Alegre: Artmed, 2000 (adaptado).

Relacionando os sintomas apresentados pelo paciente com os resultados de seu hemograma, constata-se que

A) o sangramento nasal é devido à baixa quantidade de plaquetas, que são responsáveis pela coagulação sanguínea.

B) o cansaço ocorreu em função da quantidade de glóbulos brancos, que são responsáveis pela coagulação sanguínea.

C) a dificuldade respiratória decorreu da baixa quantidade de glóbulos vermelhos, que são responsáveis pela defesa imunológica.

D) o sangramento nasal é decorrente da baixa quantidade de glóbulos brancos, que são responsáveis pelo
transporte de gases no sangue.

E) a dificuldade respiratória ocorreu pela quantidade de plaquetas, que são responsáveis pelo transporte de oxigênio no sangue.

+ para melhorar o seu preparo no ENEM

Resolução

Pelos resultados apresentados na tabela, observa-se a baixa contagem de plaquetas (200.000/ mm³) onde o normal é estar entre 250.000/mm³ e 400.000/mm³.

As plaquetas participam do processo de coagulação sanguínea. A baixa quantidade do número de plaquetas permite o eventual sangramento até por pequenos cortes.

Constituinte

Número normal

Paciente

Glóbulos vermelhos
4,8 milhões/mm³
4 milhões/mm³
Glóbulos brancos
(5.000-10.000)/mm³
9.000/mm³
Plaquetas
de 250.000/mm³ a 400.000/mm³
200.000/mm³

Supondo suficiente para conclusão do diagnóstico a análise deste hemograma, nele o fator responsável pelo sangramento nasal é a baixa contagem de plaquetas.

Questão 3 — ENEM

A participação dos estudantes na Olimpíada Brasileira de Matemática das Escolas Públicas (OBMEP) aumenta a cada ano. O quadro indica o percentual de medalhistas de ouro, por região, nas edições da OBMEP de 2005 a 2009:

Região

2005

2006

2007

2008

2009

Norte
2%
2%
1%
2%
1%
Nordeste
18%
19%
21%
15%
19%
Centro-Oeste
5%
6%
7%
8%
9%
Sudeste
55%
61%
58%
66%
60%
Sul
21%
12%
13%
9%
11%

Disponível em: http://www.obmep.org.br. Acesso em: abr. 2010 (adaptado).

 

Em relação às edições de 2005 a 2009 da OBMEP, qual o percentual médio de medalhistas de ouro da região Nordeste?

A) 14,6%

B) 18,2%

C) 18,4%

D) 19,0%

E) 21,0%


Resolução

Primeiramente, é LASTIMÁVEL que o ENEM seja usado para fazer propaganda política dos atos do Governo Federal, expondo seus feitos apenas no que tange aos eventos que, supostamente, exaltam a administração pública. Especialmente fazer uso desses 'recadinhos' apenas nas questões mais fáceis.

Enalte-se "A participação dos estudantes na Olimpíada Brasileira de Matemática das Escolas Públicas (OBMEP) aumenta a cada ano". Que é um dado, para a questão, inútil. Apenas sendo enunciado como alça para a captura do subliminar, talvez, de algo como "estamos melhorando na Educação". Ou... "olha que sucesso são as nossas iniciativas".

Nas questões do ENEM preste atenção nesses detalhes e forme a sua opinião...

 

Sobre a parte matemática, é apenas uma questão de aritmética o cálculo da média:

`\frac{18% + 19% + 21%+15%+19%}{5}=\frac{92%}{5}=18,4%`

Questão 4 — ENEM

Um médico está estudando um novo medicamento que combate um tipo de câncer em estágios avançados. Porém, devido ao forte efeito dos seus componentes, a cada dose administrada há uma chance de 10% de que o paciente sofra algum dos efeitos colaterais observados no estudo, tais como dores de cabeça, vômitos ou mesmo agravamento dos sintomas da doença. O médico oferece tratamentos compostos por 3, 4, 6, 8 ou 10 doses do medicamento, de acordo com o risco que o paciente pretende assumir.

Se um paciente considera aceitável um risco de até 35% de chances de que ocorra algum dos efeitos colaterais durante o tratamento, qual é o maior número admissível de doses para esse paciente?

A) 3 doses.
B) 4 doses.
C) 6 doses.
D) 8 doses.
E) 10 doses.


Resolução

Segundo o enunciado, o paciente tolera um risco de sofrer um efeito colateral de até 35%.

Ajudará em um desenvolvimento da resolução também usar que esse paciente precisa de pelo menos 65% de chances para não sofrer um efeito colateral.

A cada dose a probabilidade:

S: de sofrer um dos efeitos colaterais é de `10/100`.

Portanto, a probabilidade

N: de não sofrer um dos efeitos colaterais é de `90/100`.

Vamos estipular a probabilidade dele não sofrer um efeito colateral, por quantidades doses:

 

1 dose - a probabilidade de não sofrer um efeito colateral é `90/100`.

(o paciente considera aceitável pois 90% passa dos 65%)

 

2 doses - a probabilidade de não sofrer um efeito colateral é :

(não sofrer um efeito colateral na 1ª dose) e (não sofrer um efeito colateral na 2ª dose)

`(90/100)*(90/100) = 81/100`

(o paciente considera aceitável pois 81% passa dos 65%)

 

3 doses - a probabilidade de não sofrer um efeito colateral é :

(não sofrer um efeito colateral na 1ª dose) e (não sofrer um efeito colateral na 2ª dose) e (não sofrer um efeito colateral na 3ª dose)

`(90/100)*(90/100)*(90/100) = \frac{72,9}{100}`

(o paciente considera aceitável pois 72,9% passa dos 65%)

 

4 doses - a probabilidade de não sofrer um efeito colateral é :

(não sofrer um efeito colateral na 1ª dose) e (não sofrer um efeito colateral na 2ª dose) e (não sofrer um efeito colateral na 3ª dose) e (não sofrer um efeito colateral na 4ª dose)

`(90/100)*(90/100)*(90/100)*(90/100) = \frac{65,61}{100}`

(o paciente considera aceitável pois 65,61% passa dos 65%)

 

5 doses - a probabilidade de não sofrer um efeito colateral é :

(não sofrer um efeito colateral na 1ª dose) e (não sofrer um efeito colateral na 2ª dose) e (não sofrer um efeito colateral na 3ª dose) e (não sofrer um efeito colateral na 4ª dose) e (não sofrer um efeito colateral na 5ª dose)

`(90/100)*(90/100)*(90/100)*(90/100)*(90/100) = \frac{59,049}{100}`

(o paciente não considera aceitável pois 59,049% é inferior aos 65%, minimamente aceitáveis para se subordinar ao risco)

 

Portanto, o maior número de doses admissíveis são 4 doses.

Questão 5 — EXTRA

Dadas as premissas p e q, com a conclusão r. O raciocínio apresentado a seguir:

p: Se 2 + 1 = 7, então as borboletas são verdes.
q: 2 + 1 = 7.

r: As borboletas são verdes.

É classificado como:


A) Silogismo construtivo.
B) Dilema construtivo.
C) Silogismo hipotético.
D) Modus Ponnes.
E) Modus Tollens.


Resolução

Um raciocínio do tipo:

p: Se A, então B.
q: A.

r: B.

É classificado como Modus Ponnens.