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Exercícios > Exercício de Matemática > EXTRA > 2011 > São Paulo
Numa PA em que a6 = 2 e a38 = 10 Qual é a soma dos 20 primeiros termos dessa PA?
(A) 120/3
(B) 125/4
(C) 150/3
(D) 125/2
(E) 100.
Exercícios > Exercício de Matemática > EXTRA > 2011 > São Paulo
A soma dos 20 primeiros termos de uma PA:
Depende de $a_{20}$ e de $a_1$ que ainda não foram determinados.
Lembrando o Termo Geral de uma PA:
Com $a_6 = 2$ temos:
amath a_n = a_1 + (n - 1) * r endmath
amath a_6 = a_1 + (6 - 1) * r endmath
amath 2 = a_1 + 5 * r endmath (I)
Com $a_{38} = 10$ temos:
amath a_n = a_1 + (n - 1) * r endmath
amath a_{38} = a_1 + (38 - 1) * r endmath
amath 10 = a_1 + 37 * r endmath (II)
Das equações (I) e (II) montamos um sistema linear de duas incógnitas ($a_1$ e $r$):
`{(2 = a_1 + 5 * r , text(I)),(10 = a_1 + 37 * r , text(II)):}`
Subtraindo, membro a membro, a equação II da equação I, temos:
`\frac{{(2 = a_1 + 5 * r , text(I)),(10 = a_1 + 37 * r , text(II)):}}{text(II - I: ) 10 - 2 = 32*r <=> r = \frac{8}{32} = \frac{1}{4} }`
Substituindo $r = \frac{1}{4}$ na equação I, temos:
amath 2 = a_1 + 5 * r endmath
amath 2 = a_1 + 5 * \frac{1}{4} <=> 2 - 5 *\frac{1}{4} = a_1 <=> \frac{2*4 - 5}{4} = \frac{3}{4} = a_1 endmath
Portanto, $a_1 = \frac{3}{4}$
Precisamos determinar $a_{20}$
amath a_{20} = a_1 + (20 - 1) * r endmath
amath a_{20} = \frac{3}{4} + 19 * \frac{1}{4} endmath
amath a_{20} = \frac{3 + 19}{4} = \frac{22}{4} endmath
A soma dos 20 primeiros termos:
amath S_{20} = ((a_1 + a_20)*20)/2 endmath
amath S_{20} = ((\frac{3}{4} + \frac{22}{4})*20)/2 endmath
amath S_{20} = (\frac{3 + 22}{4})*10 endmath
amath S_{20} = \frac{25}{4}*10 endmath
amath S_{20} = \frac{25}{2}*5 endmath
amath S_{20} = \frac{125}{2} endmath
D
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