Professor Cardy

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Às 17 h 15 min começa uma forte chuva, que cai com intensidade constante. Uma piscina em forma de um paralelepípedo retângulo, que se encontrava inicialmente vazia, começa a acumular a água da chuva e, às 18 horas, o nível da água em seu interior alcança 20 cm de altura. Nesse instante, é aberto o registro que libera o escoamento da água por um ralo localizado no fundo dessa piscina, cuja vazão é constante. As 18 h 40 min a chuva cessa e, nesse exato instante, o nível da água na piscina baixou para 15 cm.

O instante em que a água dessa piscina terminar de escoar completamente está compreendido entre

A) 19 h 30 min e 20 h 10 min
B) 19 h 20 min e 19 h 30 min
C) 19 h 10 min e 19 h 20 min
D) 19 h e 19 h 10 min
E) 18 h 40 min e 19 h

A piscina encontra-se vazia às 17h15. Começa a chuva. O ralo está fechado.

 

Iniciada a chuva com intensidade constante desde então. Como às 18h a piscina contava com 20 cm de nível de água, temos que a contribuição de água da chuva para o volume é de 20 cm por 45 minutos. Portanto, no que depende da água da chuva, a taxa de acréscimo de água é `20/45 \frac{\text{cm}}{\text{min}}` por minuto. Ou seja, `c(t) = 20/45 * t`, onde `t` é a variação de tempo, em minutos, a partir das 18h. Observo que tal função dá o nível de água, ou seja, a altura de água na piscina - por isso está em centímetros e não em centímetros cúbicos.

Resumo. Às 18h a chuva continua e o ralo é aberto. O nível da piscina é 20 cm.

 

Resumo. Às 18h40 a chuva cessa. O ralo continua aberto. O nível da piscina é 15 cm.

 

 

Lembrando que às 18h também é aberto o ralo da piscina, o que implica no escoamento do nível de água que já se encontra nela 20 cm (e, ainda, com o ingresso de mais água provinda da chuva, que se mantém). Vamos chamar de `T_e` a taxa de escoamento do ralo, em centímetros por minutos. Com isso essa taxa de escoamento do ralo é assim descrita: `r(t) = T_e * t`.

Às 18h40. Nesse momento, passaram-se 40 minutos desde 18h. Logo, temos os antigos 20 cm mais a contribuição da água da chuva, por 40 minutos `20+c(40)`. Portanto, `20+c(40) = 20 + 20/45 * 40 = 340/9` é o total de água que entrou na piscina das 18h às 18h40.

Ainda às 18h40, temos que o ralo ficou aberto por 40 minutos (desde 18h) - então o tanto de água que saiu da piscina é `r(40) = T_e * 40`.

Considerando o que a água da chuva faz entrar de água e o que o ralo faz sair água, às 18h40 temos o nível de água indicado na expressão:

` 340/9 - T_e * 40`

Como às 18h40, o nível de água passou para 15 cm, temos:

`340/9 - T_e * 40 = 15`

`T_e = \frac{340/9 - 15}{40} = 41/72`

`T_e = 41/72 \frac{\text{cm}}{\text{min}}`

Com `T_e` a taxa de escoamento é agora conhecida `41/72` com `r(t) = 41/72 *t`. Agora, a partir das 18h40, cessada a chuva, com o nível da água em 15 cm, e com a passagem de mais `t` minutos, temos a altura `h` do nível de água pela função:

`h(t) = 15 - r(t)`

`h(t) = 15 - 41/72 * t `

Desejamos determinar `t` de modo que `h(t)=0`. Assim, `15 - 41/72 * t = 0`, `.: t = 1080/41 ~~ 26,34`. Portanto, passados aproximadamente 26 minutos após as 18h40 horas a piscina terá a totalidade da água em seu interior escoada às 18h40 + 26min = 19h06.



D

Autoria da resolução professor Cardy Meier
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