Professor Cardy

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Para realizar a viagem dos sonhos, uma pessoa precisava fazer um empréstimo no valor de R$ 5 000,00. Para pagar as prestações, dispõe de, no máximo, R$ 400,00 mensais. Para esse valor de empréstimo, o valor da prestação (`P`) é calculado em função do número de prestações (`n`) segundo a fórmula

`P = \frac{5000 \xx1,013^n \xx0,013}{(1,013^n - 1)}`

Se necessário, utilize 0,005 como aproximação para log1,013; 2,602 como aproximação para log400; 2,525 como aproximação para log335.

A) 12
B) 14
C) 15
D) 16
E) 17

O valor máximo para `P` deve ser 400, isto é `P <= 400`.

` \frac{5000 \xx1,013^n \xx0,013}{(1,013^n - 1)} <= 400`

Um pequeno ajuste na desigualdade anterior facilitará:

` \frac{5000 \xx 0,013 \xx 1,013^n }{(1,013^n - 1)} <= 400`

Como `5000 \xx 0,013 = 65`, temos:

` \frac{(5000 \xx 0,013) \xx 1,013^n }{(1,013^n - 1)} <= 400`

` \frac{65 \xx 1,013^n }{(1,013^n - 1)} <= 400`

O enunciado apresenta o símbolo de multiplicação `\xx` (sem problemas!). Contudo, para as seguintes passagens vou usar o símbolo `*` para uniformizar as expressões. Apenas por uma questão estética.

` \frac{65 * 1,013^n }{(1,013^n - 1)} <= 400`

O que equivale a dizer que (atente ao fato: `1,013^n - 1 > 0`, ou seja `1,013^n - 1` é um valor positivo e isto garante que o sentido da desigualdade `<=` se mantenha o mesmo na multiplicação desse número em ambos os membros da desigualdade [ver observações no final]):

` \frac{65 * 1,013^n}{(1,013^n - 1)} * (1,013^n - 1) <= 400 * (1,013^n - 1)`

` 65 * 1,013^n <= 400 * (1,013^n - 1)`

` 65 * 1,013^n <= 400 * 1,013^n - 400`

` 65 * 1,013^n - 400 * 1,013^n <= - 400`

` 1,013^n *(65 - 400) <= - 400`

` 1,013^n *(-335) <= - 400`

Mutliplicando ambos os membros da desigualdade por `-1` [ver observações no final]:

` 1,013^n *(335) >= 400`

Dividindo-se ambos os membros por `335` [ver observações no final]:

` \frac{1,013^n *(335)}{335} >= \frac{400}{335}`

` 1,013^n >= \frac{400}{335}`

Como a incógnita `n` é expoente na potência `1,013^n`, será conveniente usar logaritmos para concluir a resolução, fazendo uso de suas propriedades.

` log(1,013^n) >= log(\frac{400}{335})`

Usando a propriedade Logaritmo da Potência:

` n*log(1,013) >= log(\frac{400}{335})`

Usando a propriedade Logaritmo da Divisão:

` n*log(1,013) >= log400 - log335`

O enunciado determinou os valores aproximados de todos os logaritmos envolvidos na desigualdade anterior. Sendo assim, fazendo uso que `log1,013 ~~0,005`, `log400~~2,602` e `log335 ~~ 2,525`:

` n*0,005 >= 2,602 - 2,525`

` n*0,005 >= 0,077`

Dividindo-se ambos os membros por `0,05` [ver observações no final]:

` n >= \frac{0,077}{0,005}`

` n >= 15,4`

Sendo `n` número de prestações, então `n` é um Número Natural. Portanto, o primeiro número natural que é maior que `15,4` é `16`.

 

Observação 1: Quando multiplicamos (ou dividimos) ambos os membros de uma desigualdade por um valor negativo, o sentido da desigualdade deve ser invertido, ou seja, (A) se for `>` passa a ser `<`; (B) se for `>=` passa a ser `<=`; (C) se for `<` passa a ser `>` e (D) se for `<=` passa a ser `>=`.

Observação 2: Quando multiplicamos (ou dividimos) ambos os membros de uma desigualdade por um valor positivo, neste caso a desigualdade continua a mesma.



Avançado

Usando os dados sugeridos do enunciado realmente se chega em `n=16`. ALTERNATIVA D.

Entretanto, do ponto de vista matemático (que é o que importa), a alternativa correta é B, porque para `n=14` temos o primeiro número natural que atende `P<=400`.

`P = \frac{5000 \xx1,013^14 \xx0,013}{(1,013^14 - 1)} = 392,94.`

Apresento, a seguir, todos os resultados para `n=1` a até `n=16`, para ilustrar:

Número de Parcelas `n`

Cada Prestação `P`

1

R$ 5.065,00

2

R$ 2.548,85

3

R$ 1.710,19

4

R$ 1.290,89

5

R$ 1.039,34

6

R$ 871,66

7

R$ 751,91

8

R$ 662,11

9

R$ 592,29

10

R$ 536,44

11

R$ 490,76

12

R$ 452,71

13

R$ 420,52

14

R$ 392,94

15

R$ 369,04

16

R$ 348,15

 

Portanto, do ponto de vista matemático, a resposta correta é `n=14`. ALTERNATIVA B



D

Autoria da resolução professor Cardy Meier
Por favor, ajude a divulgar o site que disponibiliza todo o material aberto para o seu estudo, cite [Autoria www.profcardy.com].

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