Professor Cardy

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Para realizar a viagem dos sonhos, uma pessoa precisava fazer um empréstimo no valor de R$ 5 000,00. Para pagar as prestações, dispõe de, no máximo, R$ 400,00 mensais. Para esse valor de empréstimo, o valor da prestação (`P`) é calculado em função do número de prestações (`n`) segundo a fórmula

`P = \frac{5000 \xx1,013^n \xx0,013}{(1,013^n - 1)}`

Se necessário, utilize 0,005 como aproximação para log1,013; 2,602 como aproximação para log400; 2,525 como aproximação para log335.

A) 12
B) 14
C) 15
D) 16
E) 17

O valor máximo para `P` deve ser 400, isto é `P <= 400`.

` \frac{5000 \xx1,013^n \xx0,013}{(1,013^n - 1)} <= 400`

Um pequeno ajuste na desigualdade anterior facilitará:

` \frac{5000 \xx 0,013 \xx 1,013^n }{(1,013^n - 1)} <= 400`

Como `5000 \xx 0,013 = 65`, temos:

` \frac{(5000 \xx 0,013) \xx 1,013^n }{(1,013^n - 1)} <= 400`

` \frac{65 \xx 1,013^n }{(1,013^n - 1)} <= 400`

O enunciado apresenta o símbolo de multiplicação `\xx` (sem problemas!). Contudo, para as seguintes passagens vou usar o símbolo `*` para uniformizar as expressões. Apenas por uma questão estética.

` \frac{65 * 1,013^n }{(1,013^n - 1)} <= 400`

O que equivale a dizer que (atente ao fato: `1,013^n - 1 > 0`, ou seja `1,013^n - 1` é um valor positivo e isto garante que o sentido da desigualdade `<=` se mantenha o mesmo na multiplicação desse número em ambos os membros da desigualdade [ver observações no final]):

` \frac{65 * 1,013^n}{(1,013^n - 1)} * (1,013^n - 1) <= 400 * (1,013^n - 1)`

` 65 * 1,013^n <= 400 * (1,013^n - 1)`

` 65 * 1,013^n <= 400 * 1,013^n - 400`

` 65 * 1,013^n - 400 * 1,013^n <= - 400`

` 1,013^n *(65 - 400) <= - 400`

` 1,013^n *(-335) <= - 400`

Mutliplicando ambos os membros da desigualdade por `-1` [ver observações no final]:

` 1,013^n *(335) >= 400`

Dividindo-se ambos os membros por `335` [ver observações no final]:

` \frac{1,013^n *(335)}{335} >= \frac{400}{335}`

` 1,013^n >= \frac{400}{335}`

Como a incógnita `n` é expoente na potência `1,013^n`, será conveniente usar logaritmos para concluir a resolução, fazendo uso de suas propriedades.

` log(1,013^n) >= log(\frac{400}{335})`

Usando a propriedade Logaritmo da Potência:

` n*log(1,013) >= log(\frac{400}{335})`

Usando a propriedade Logaritmo da Divisão:

` n*log(1,013) >= log400 - log335`

O enunciado determinou os valores aproximados de todos os logaritmos envolvidos na desigualdade anterior. Sendo assim, fazendo uso que `log1,013 ~~0,005`, `log400~~2,602` e `log335 ~~ 2,525`:

` n*0,005 >= 2,602 - 2,525`

` n*0,005 >= 0,077`

Dividindo-se ambos os membros por `0,05` [ver observações no final]:

` n >= \frac{0,077}{0,005}`

` n >= 15,4`

Sendo `n` número de prestações, então `n` é um Número Natural. Portanto, o primeiro número natural que é maior que `15,4` é `16`.

 

Observação 1: Quando multiplicamos (ou dividimos) ambos os membros de uma desigualdade por um valor negativo, o sentido da desigualdade deve ser invertido, ou seja, (A) se for `>` passa a ser `<`; (B) se for `>=` passa a ser `<=`; (C) se for `<` passa a ser `>` e (D) se for `<=` passa a ser `>=`.

Observação 2: Quando multiplicamos (ou dividimos) ambos os membros de uma desigualdade por um valor positivo, neste caso a desigualdade continua a mesma.



Avançado

Usando os dados sugeridos do enunciado realmente se chega em `n=16`. ALTERNATIVA D.

Entretanto, do ponto de vista matemático (que é o que importa), a alternativa correta é B, porque para `n=14` temos o primeiro número natural que atende `P<=400`.

`P = \frac{5000 \xx1,013^14 \xx0,013}{(1,013^14 - 1)} = 392,94.`

Apresento, a seguir, todos os resultados para `n=1` a até `n=16`, para ilustrar:

Número de Parcelas `n`

Cada Prestação `P`

1

R$ 5.065,00

2

R$ 2.548,85

3

R$ 1.710,19

4

R$ 1.290,89

5

R$ 1.039,34

6

R$ 871,66

7

R$ 751,91

8

R$ 662,11

9

R$ 592,29

10

R$ 536,44

11

R$ 490,76

12

R$ 452,71

13

R$ 420,52

14

R$ 392,94

15

R$ 369,04

16

R$ 348,15

 

Portanto, do ponto de vista matemático, a resposta correta é `n=14`. ALTERNATIVA B



D

Autoria da resolução professor Cardy Meier
Por favor, ajude a divulgar o site que disponibiliza todo o material aberto para o seu estudo, cite [Autoria www.profcardy.com].

Avalie a dificuldade do Exercício

Pesadelo Pesadelo
Difícil
Pesadelo
Normal
Pesadelo
Fácil
Pesadelo
Fraquinho
Pesadelo

Matemática de Loterias



As pessoas normalmente fazem apostas na Mega Sena, pelo valor acumulado mais alto ou pelo simples hábito. Sabemos que a probabilidade de levar o prêmio principal é bem baixo. Contudo, será que vale mais a pena apostar numa Mega Sena que pode pagar R$30 milhões ou numa Timemania que pode premiar R$5 milhões?

Pensar exclusivamente na questão PROBABILIDADE é a melhor referência. Porém, aliado a isso, o VALOR DO PRÊMIO e o VALOR DA APOSTA também são interessantes de levar em conta. Vale mais a pena gastar seus REAIS na MEGA SENA que paga R$30 milhões ou numa Timemania que pode premiar R$5 milhões? A probabilidade da Timemania é melhor (em relação à da Mega) e o valor da aposta é mais baixo.

É certo que O VALOR ALTO DE PRÊMIO seduz muito e valor baixo desmotiva o interesse. Porém, se o valor alto vem de um jogo cujas chances de ganho são muito discrepantes no confronto direto, muitas vezes é mais interessante ir atrás de um prêmio menor se as suas chances de êxito vencem, mesmo sendo uma premiação inferior.

De acordo com a relação PRÊMIO A CONQUISTAR e PROBABILIDADE DE LEVAR, CUSTO DA APOSTA, eu calculei uma NOTA DE MAIS VALIA. Veja na ORDEM (de cima para baixo) onde vale mais a pena (NOTA 100) gastar seu real até onde menos vale a pena apostar, levando tudo isso em consideração

A TABELA A SEGUIR MUDA DE ACORDO COM OS VALORES DOS PRÊMIOS, CUSTOS e REGRAS. CONFIRA A ANÁLISE NA DATA INFORMADA.

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