
dificuldade
Para realizar a viagem dos sonhos, uma pessoa precisava fazer um empréstimo no valor de R$ 5 000,00. Para pagar as prestações, dispõe de, no máximo, R$ 400,00 mensais. Para esse valor de empréstimo, o valor da prestação (`P`) é calculado em função do número de prestações (`n`) segundo a fórmula
`P = \frac{5000 \xx1,013^n \xx0,013}{(1,013^n - 1)}`
Se necessário, utilize 0,005 como aproximação para log1,013; 2,602 como aproximação para log400; 2,525 como aproximação para log335.
A) 12
B) 14
C) 15
D) 16
E) 17
O valor máximo para `P` deve ser 400, isto é `P <= 400`.
` \frac{5000 \xx1,013^n \xx0,013}{(1,013^n - 1)} <= 400`
Um pequeno ajuste na desigualdade anterior facilitará:
` \frac{5000 \xx 0,013 \xx 1,013^n }{(1,013^n - 1)} <= 400`
Como `5000 \xx 0,013 = 65`, temos:
` \frac{(5000 \xx 0,013) \xx 1,013^n }{(1,013^n - 1)} <= 400`
` \frac{65 \xx 1,013^n }{(1,013^n - 1)} <= 400`
O enunciado apresenta o símbolo de multiplicação `\xx` (sem problemas!). Contudo, para as seguintes passagens vou usar o símbolo `*` para uniformizar as expressões. Apenas por uma questão estética.
` \frac{65 * 1,013^n }{(1,013^n - 1)} <= 400`
O que equivale a dizer que (atente ao fato: `1,013^n - 1 > 0`, ou seja `1,013^n - 1` é um valor positivo e isto garante que o sentido da desigualdade `<=` se mantenha o mesmo na multiplicação desse número em ambos os membros da desigualdade [ver observações no final]):
` \frac{65 * 1,013^n}{(1,013^n - 1)} * (1,013^n - 1) <= 400 * (1,013^n - 1)`
` 65 * 1,013^n <= 400 * (1,013^n - 1)`
` 65 * 1,013^n <= 400 * 1,013^n - 400`
` 65 * 1,013^n - 400 * 1,013^n <= - 400`
` 1,013^n *(65 - 400) <= - 400`
` 1,013^n *(-335) <= - 400`
Mutliplicando ambos os membros da desigualdade por `-1` [ver observações no final]:
` 1,013^n *(335) >= 400`
Dividindo-se ambos os membros por `335` [ver observações no final]:
` \frac{1,013^n *(335)}{335} >= \frac{400}{335}`
` 1,013^n >= \frac{400}{335}`
Como a incógnita `n` é expoente na potência `1,013^n`, será conveniente usar logaritmos para concluir a resolução, fazendo uso de suas propriedades.
` log(1,013^n) >= log(\frac{400}{335})`
Usando a propriedade Logaritmo da Potência:
` n*log(1,013) >= log(\frac{400}{335})`
Usando a propriedade Logaritmo da Divisão:
` n*log(1,013) >= log400 - log335`
O enunciado determinou os valores aproximados de todos os logaritmos envolvidos na desigualdade anterior. Sendo assim, fazendo uso que `log1,013 ~~0,005`, `log400~~2,602` e `log335 ~~ 2,525`:
` n*0,005 >= 2,602 - 2,525`
` n*0,005 >= 0,077`
Dividindo-se ambos os membros por `0,05` [ver observações no final]:
` n >= \frac{0,077}{0,005}`
` n >= 15,4`
Sendo `n` número de prestações, então `n` é um Número Natural. Portanto, o primeiro número natural que é maior que `15,4` é `16`.
Observação 1: Quando multiplicamos (ou dividimos) ambos os membros de uma desigualdade por um valor negativo, o sentido da desigualdade deve ser invertido, ou seja, (A) se for `>` passa a ser `<`; (B) se for `>=` passa a ser `<=`; (C) se for `<` passa a ser `>` e (D) se for `<=` passa a ser `>=`.
Observação 2: Quando multiplicamos (ou dividimos) ambos os membros de uma desigualdade por um valor positivo, neste caso a desigualdade continua a mesma.
Avançado
Usando os dados sugeridos do enunciado realmente se chega em `n=16`. ALTERNATIVA D.
Entretanto, do ponto de vista matemático (que é o que importa), a alternativa correta é B, porque para `n=14` temos o primeiro número natural que atende `P<=400`.
`P = \frac{5000 \xx1,013^14 \xx0,013}{(1,013^14 - 1)} = 392,94.`
Apresento, a seguir, todos os resultados para `n=1` a até `n=16`, para ilustrar:
Número de Parcelas `n` |
Cada Prestação `P` |
1 |
R$ 5.065,00 |
2 |
R$ 2.548,85 |
3 |
R$ 1.710,19 |
4 |
R$ 1.290,89 |
5 |
R$ 1.039,34 |
6 |
R$ 871,66 |
7 |
R$ 751,91 |
8 |
R$ 662,11 |
9 |
R$ 592,29 |
10 |
R$ 536,44 |
11 |
R$ 490,76 |
12 |
R$ 452,71 |
13 |
R$ 420,52 |
14 |
R$ 392,94 |
15 |
R$ 369,04 |
16 |
R$ 348,15 |
Portanto, do ponto de vista matemático, a resposta correta é `n=14`. ALTERNATIVA B
D
Autoria da resolução professor Cardy Meier
Por favor, ajude a divulgar o site que disponibiliza todo o material aberto para o seu estudo, cite [Autoria www.profcardy.com].
Matemática de Loterias
As pessoas normalmente fazem apostas na Mega Sena, pelo valor acumulado mais alto ou pelo simples hábito. Sabemos que a probabilidade de levar o prêmio principal é bem baixo. Contudo, será que vale mais a pena apostar numa Mega Sena que pode pagar R$30 milhões ou numa Timemania que pode premiar R$5 milhões?
Pensar exclusivamente na questão PROBABILIDADE é a melhor referência. Porém, aliado a isso, o VALOR DO PRÊMIO e o VALOR DA APOSTA também são interessantes de levar em conta. Vale mais a pena gastar seus REAIS na MEGA SENA que paga R$30 milhões ou numa Timemania que pode premiar R$5 milhões? A probabilidade da Timemania é melhor (em relação à da Mega) e o valor da aposta é mais baixo.
É certo que O VALOR ALTO DE PRÊMIO seduz muito e valor baixo desmotiva o interesse. Porém, se o valor alto vem de um jogo cujas chances de ganho são muito discrepantes no confronto direto, muitas vezes é mais interessante ir atrás de um prêmio menor se as suas chances de êxito vencem, mesmo sendo uma premiação inferior.
De acordo com a relação PRÊMIO A CONQUISTAR e PROBABILIDADE DE LEVAR, CUSTO DA APOSTA, eu calculei uma NOTA DE MAIS VALIA. Veja na ORDEM (de cima para baixo) onde vale mais a pena (NOTA 100) gastar seu real até onde menos vale a pena apostar, levando tudo isso em consideração
A TABELA A SEGUIR MUDA DE ACORDO COM OS VALORES DOS PRÊMIOS, CUSTOS e REGRAS. CONFIRA A ANÁLISE NA DATA INFORMADA.
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