Professor Cardy

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Um empréstimo foi feito à taxa mensal de `i%`, usando juros compostos, em oito parcelas fixas e iguais a `P`.

O devedor tem a possibilidade de quitar a dívida antecipadamente a qualquer momento, pagando para isso o valor atual das parcelas ainda a pagar. Após pagar a 5ª parcela, resolve quitar a dívida no ato de pagar a 6ª parcela.

A expressão que corresponde ao valor total pago pela quitação do empréstimo é

 

A) `P(1+\frac{1}{(1+i/100)}+\frac{1}{(1+i/100)^2})`
B) `P(1+\frac{1}{(1+i/100)}+\frac{1}{(1+\frac{2i}{100})})`
C) `P(1+\frac{1}{(1+i/100)^2}+\frac{1}{(1+i/100)^2})`
D) `P(1+\frac{1}{(1+i/100)}+\frac{1}{(1+\frac{2i}{100})} +\frac{1}{(1+\frac{3i}{100})})`
E) `P(1+\frac{1}{(1+i/100)}+\frac{1}{(1+i/100)^2}+\frac{1}{(1+i/100)^3})`

O problema estabeleceu que temos 8 parcelas mensais, sucessivas e iguais a `P`:

 

Além disso, informa que as cinco primeiras parcelas foram pagas:

O que também foi indicado é que no exato momento que a 6ª parcela é paga, a 7ª e a 8ª parcelas são pagas antecipadamente.

Vamos precisar de alguns conceitos agora para saber como os valores das 7ª e 8ª parcelas devem ser calculados, porque tem-se direito a abatimento dos juros compostos envolvidos.

PAUSA PARA SOLIDIFICAR CONCEITOS

Se você já conhece o básico de Aumentos e Descontos percentuais (saiba mais aqui), entende que:

Aumentando-se `i%` de um valor `A`

Simplesmente se faz:

`A + A*\frac{i}{100} =A*(1 +\frac{i}{100}) `

O conceito fundamental aqui será o comportamento de um valor em um momento fixado (Valor Presente) ao empregarmos juros compostos de `i%` ao mês, (A) levando esse Valor Presente para Valor Futuro e (B) trazendo um Valor Futuro para Valor Presente.

A seguir, vou usar as variáveis `A` e `B` apenas para ilustrar o conceito (depois voltamos a usar no lugar adequado a tal parcela `P`).

Seguindo...

Se hoje temos um Valor Presente `A`, daqui a um mês, com juros de `i%`, seu valor será multiplicado por `(1 +\frac{i}{100})`. Nesse caso o Valor Futuro de `A` será `A*(1 +\frac{i}{100})`.

 

Agora o reverso. Digamos que daqui a um mês tenhamos um valor `B`. Hoje, considerando os juros de `i%` ao mês, seu Valor Presente será dividido por `(1 +\frac{i}{100})`. Nesse caso o Valor Presente de `B` será `\frac{B}{(1 +\frac{i}{100})}`.

 

Vamos voltar a tratar da parcela `P` que queremos trazer para Valor Presente.

Nesse momento da leitura você precisa saber disso:

Valor Futuro para Valor Presente

Para trazer um Valor Futuro `P` (que está um mês na frente), e com juros de `i%` ao mês, basta dividir `P` por `(1 +\frac{i}{100})`:

`\frac{P}{(1 +\frac{i}{100})} `

Agora estamos preparados para enfrentar o problema, com a certeza do conceito envolvido bem solidificado! Na verdade, sabendo o conceito anterior a questão é relativamente direta.

FIM DA PAUSA

 

No momento do pagamento da 6ª parcela temos certamente que pagar `P` (o valor da sexta parcela).

A 7ª parcela só precisa ser antecipada um mês. Logo, seu Valor Presente é `\frac{P}{(1 +\frac{i}{100})} ` .

 

A 8ª parcela precisa ser antecipada dois meses. Logo, seu Valor Presente deverá ser dividido por `(1 +\frac{i}{100})` para retroceder um mês e o resultado disso, ser novamente dividido por `(1 +\frac{i}{100})` para que tenhamos os dois meses de antecipação considerados:

`\frac{ \frac{P}{(1+i/100) }}{(1+i/100)}=\frac{P}{(1+i/100)^2 }`

 

Somando-se os valores da 6ª, da 7ª e da 8ª parcelas temos:

`P + \frac{P}{(1 +\frac{i}{100})} + \frac{P}{(1+i/100)^2 }`

Colocando-se `P` em evidência:

`P(1 + \frac{1}{(1 +\frac{i}{100})} + \frac{1}{(1+i/100)^2 })`



A

Autoria da resolução professor Cardy Meier
Por favor, ajude a divulgar o site que disponibiliza todo o material aberto para o seu estudo, cite [Autoria www.profcardy.com].

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