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Considere os polinômios `Q(x) = x^2 -2x+1` e `P(x) = x^3 -3x^2 -ax +b`, sendo `a` e `b` números reais tais que `a^2-b^2=-8`. Se os gráficos de `Q(x)` e `P(x)` tem um ponto em comum que pertence ao eixo das abscissas, então é INCORRETO afirmar sobre as raízes de `P(x)` que

A) podem formar uma progressão aritmética.

B) são todas números naturais

C) duas são os números `a` e `b`

D) duas são números simétricos

Pontos do gráfico de uma função que pertencem ao eixo das abscissas são os zeros dessa função. Muitas das vezes emprega-se o termo raízes de função o que não é muito apropriado. Equações tem raízes. Funcões tem zeros. Contudo isso não gera nenhuma distorção de entendimento nesse problema. Vou seguir usando o termo raíz para uniformizar o diálogo entre enunciado e resolução.

O zero (raíz) de uma função do tipo `Q(x)` é um valor de `x` que faz com que `Q(x)=0`.

Assim `Q(x) = 0` quando `x^2 -2x+1 = 0`. Essa equação tem um único valor que a torna verdadeira, a saber: `x=1` veja aqui no Súper Báskara.

Então `x=1` é uma raíz de `P(x)`, ou seja `P(1) = 1^3 -3*(1)^2 -a*1 +b = 0 <=> 1 -3 -a + b = 0 <=> a - b = -2`.

Devem ser simultaneamente satisfeitas as equações `a^2-b^2=-8` (enunciado) e `a - b = -2`. No caso da equação dada, podemos fatorar o seu primeiro membro: `a^2-b^2=-8 <=> (a-b)(a+b)=-8`. Como sabemos que `a - b = -2`, usando na equação fatorada, vem que `(a-b)(a+b)=-8 <=> -2*(a+b) = -8 <=> a + b = 4`.

O procedimento anterior não nos levou, ainda, ao conhecimento direto de quanto vale `a` e `b`. Nos serviu para evitar de termos que trabalhar com a equação dada que envolvia termos quadráticos. Em síntese, ficamos com um Sistema Linear bem simples de ser resolvido:

`{(a+b=4),(a-b=-2) :}`

Somando as equações, membro a membro:

`\frac{{(a+b=4),(a-b=-2) :}}{2a=2 <=> a = 1}`

Com `a=1`, substituindo em qualquer uma das equações do sistema obtemos `b=3`.

O polinômio `P(x) = x^3 -3x^2 -ax +b` passa a ser `P(x) = x^3 -3x^2 -x +3`. Usando a forma fatorada de `P(x)` ficará explicitada cada uma das suas raízes.

`P(x) = x^3 -3x^2 -x +3` — polinômio dado.

`P(x) = (x^3 -3x^2) +(-x +3)` — fazendo um agrupamento conveniente.

`P(x) = x^2*(x -3) -1*(x -3)` — em cada agrupamento evidenciando termos convenientes.

`P(x) = (x-3)(x^2 -1)` — colocando em evidência fator comum.

`P(x) = (x-3)(x-1)(x+1)` — usando que `x^2-1 = (x-1)(x+1)`.

As raízes de `P(x) = (x-3)(x-1)(x+1)` são `-1`, `1` e `3`, onde `-1` não é um número natural.

A seguir, para ilustrar, os gráficos de em AZUL `Q(x) = x^2 -2x+1` e em VERMELHO `P(x) = x^3 -3x^2 -x +3`.



B

Autoria da resolução professor Cardy Meier
Por favor, ajude a divulgar o site que disponibiliza todo o material aberto para o seu estudo, cite [Autoria www.profcardy.com].

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1º de Maio de 2017

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