Professor Cardy

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Considere no Plano de Argand-Gauss os números complexos `z=x+yi`, onde `i=\sqrt{-1}` e cujos afixos são pontos `P(x,y) \in \RR`.

Dada a equação `(z-1+i)^4=1`, sobre os elementos que compõe o seu conjunto solução, é INCORRETO afirmar que:

A) apenas um deles é imaginário puro.

B) todos podem ser escritos na forma trigonométrica.

C) o conjugado do que possui maior Argumento é `1 +2i`.

D) nem todos são números imaginários.

Vou iniciar a explicação comentando sobre o significado geométrico dos afixos dos pontos de uma equação da forma `z^n=1`.

Cardica

No Plano de Argand-Gauss todas as `n` soluções da equação `z^n=1` (onde `n` é um número natural não nulo) correspondem a cada um dos `n` vértices de um polígono regular, centrado na origem `(0,0)` e um dos vértices no ponto `(1,0)` - considerado aqui para início de uma ordenação a primeira solução. As soluções circulam o referido centro ao longo de uma circunferência de raio unitário.

Isso também facilita (e muito) a interpretação geométrica de equações na forma `(z - z_0)^n=1` que nada mais são que a composição geométrica de `z^n=1` transladada para o ponto centralizador `z_0`.

Por exemplo, a equação `z^4=1` tem uma composição geométrica de um quadrado, centrado na origem `(0,0)` e suas 4 soluções nos vértices `(1,0) = 1+0i=1` que será a primeira solução, em nossa ordenação; a segunda solução `(0,1) = 0 + i = i`; a terceira `(-1,0) = -1 + 0i=-1` e a quarta `(0,-1)=0-i=-i`. Todas as soluções circulando o centro `(0,0)` (raio 1).

 

Agora, se tivéssemos, a equação `(z-1)^4=1` toda a sua composição geométrica seria a mesma do exemplo anterior, porém transladada para o centro `z_0 = 1`; ou seja, para o centro `(1,0)`. A equação `(z-1)^4=1`, geometricamente, corresponde a um quadrado, centrado em `(1,0)` e suas 4 soluções nos vértices `(2,0) = 2+0i=2` que será a primeira solução; `(1,1) = 1+i` é a segunda solução; `(0,0)=0` a terceira solução e `(1,-1) = -1 + -i` a quarta e última solução. Todas as soluções circulando o centro `(1,0)` (raio 1).

 

Tendo comentado isso... Quem conhece essa estratégia ao observar a equação `(z-1+i)^4=1 <=> [z-(1-i)]^4=1` pode interpretar, geometricamentre, como um quadrado centrado em `1-i=(1,-1)`, com as soluções nos vértices desse quadrado, circulando com um raio unitário. Seu conjunto solução `{2-i, 1, -i, 1-2i}`, como segue ilustrado:

 

Na imagem animada, as 3 passagens:

A solução que possui maior Argumento `\phi` é `2-i`:

Contudo o conjugado de `2-i` é `2+i`. Portanto, é INCORRETA a opção C.



C

Autoria da resolução professor Cardy Meier
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