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dificuldade
Um arquiteto est reformando uma casa. De modo a contribuir com o meio ambiente, decide reaproveitar tbuas de madeira retiradas da casa. Ele dispe de 40 tbuas de 540 cm, 30 de 810 cm e 10 de 1 080 cm, todas de mesma largura e espessura. Ele pediu a um carpinteiro que cortasse as tbuas em pedaos de mesmo comprimento, sem deixar sobras, e de modo que as novas peas ficassem com o maior tamanho possvel, mas de comprimento menor que 2 m.
Atendendo o pedido do arquiteto, o carpinteiro dever produzir
A) 105 peas.
B) 120 peas.
C) 210 peas.
D) 243 peas.
E) 420 peas.
Tem-se tbuas de 540 cm, 810 cm e de 1 080 cm.
Fatorando-se cada um desses nmeros, temos:
`540 = 2^2* 3^3* 5`
`810 = 2* 3^4* 5`
`1080 = 2^3 *3^3* 5`
Para que no existam sobras nos cortes necessrio que o maior tamanho possvel seja o mximo divisor comum entre 540, 810 e 1080.
Na fatorao de cada um dos nmeros so fatores comuns as potncias de base 2, 3 e 5. As ocorrncias mximas e comuns de cada potncia so `2^1`, `3^3` e `5^1`. Repare nisso, numa reordenao das fatoraes para evidenciar isso:
`540 = (2^1 * 3^3 * 5^1) * 2^1`
`810 = (2^1 * 3^3 * 5^1) * 3^1`
`1080 = (2^1 * 3^3 * 5^1) * 2^2 `
Assim o `\text{MDC}(540, 810 ,1080) =2^1 * 3^3 * 5^1 = 270`. Porm, como as novas peas devem ter comprimento menor que 2 m, ou seja, menor que `200` cm, no podemos usar o tamanho de `27`0 cm. O maior divisor comum e menor que `200` `3^3 * 5^1 = 135` (basta eliminar o fator mais baixo presente que `2^1`).
Vamos calcular quantas peas podemos recortar usando a dimenso `135` cm:
Nas peas de 540 cm: `540/135=4`, com `40` dessas disponveis, temos um subtotal de peas de `4*40=160`.
Nas peas de `810` cm: `810/135=6`, com `30` dessas disponveis, temos um subtotal de peas de `6*30=180`.
Nas peas de `1080` cm: `1080/135=8`, com `10` dessas disponveis, temos um subtotal de peas de `8*10=80`.
Total `160 + 180 + 80 = 420` peas.
E
Autoria da resolução professor Cardy Meier
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