dificuldade
Um arquiteto está reformando uma casa. De modo a contribuir com o meio ambiente, decide reaproveitar tábuas de madeira retiradas da casa. Ele dispõe de 40 tábuas de 540 cm, 30 de 810 cm e 10 de 1 080 cm, todas de mesma largura e espessura. Ele pediu a um carpinteiro que cortasse as tábuas em pedaços de mesmo comprimento, sem deixar sobras, e de modo que as novas peças ficassem com o maior tamanho possível, mas de comprimento menor que 2 m.
Atendendo o pedido do arquiteto, o carpinteiro deverá produzir
A) 105 peças.
B) 120 peças.
C) 210 peças.
D) 243 peças.
E) 420 peças.
Tem-se tábuas de 540 cm, 810 cm e de 1 080 cm.
Fatorando-se cada um desses números, temos:
`540 = 2^2* 3^3* 5`
`810 = 2* 3^4* 5`
`1080 = 2^3 *3^3* 5`
Para que não existam sobras nos cortes é necessário que o maior tamanho possível seja o máximo divisor comum entre 540, 810 e 1080.
Na fatoração de cada um dos números são fatores comuns as potências de base 2, 3 e 5. As ocorrências máximas e comuns de cada potência são `2^1`, `3^3` e `5^1`. Repare nisso, numa reordenação das fatorações para evidenciar isso:
`540 = (2^1 * 3^3 * 5^1) * 2^1`
`810 = (2^1 * 3^3 * 5^1) * 3^1`
`1080 = (2^1 * 3^3 * 5^1) * 2^2 `
Assim o `\text{MDC}(540, 810 ,1080) =2^1 * 3^3 * 5^1 = 270`. Porém, como as novas peças devem ter comprimento menor que 2 m, ou seja, menor que `200` cm, não podemos usar o tamanho de `27`0 cm. O maior divisor comum e menor que `200` é `3^3 * 5^1 = 135` (basta eliminar o fator mais baixo presente que é `2^1`).
Vamos calcular quantas peças podemos recortar usando a dimensão `135` cm:
Nas peças de 540 cm: `540/135=4`, com `40` dessas disponíveis, temos um subtotal de peças de `4*40=160`.
Nas peças de `810` cm: `810/135=6`, com `30` dessas disponíveis, temos um subtotal de peças de `6*30=180`.
Nas peças de `1080` cm: `1080/135=8`, com `10` dessas disponíveis, temos um subtotal de peças de `8*10=80`.
Total `160 + 180 + 80 = 420` peças.
E
Autoria da resolução professor Cardy Meier
Por favor, ajude a divulgar o site que disponibiliza todo o material aberto para o seu estudo, cite [Autoria www.profcardy.com].
Matemática de Loterias
As pessoas normalmente fazem apostas na Mega Sena, pelo valor acumulado mais alto ou pelo simples hábito. Sabemos que a probabilidade de levar o prêmio principal é bem baixo. Contudo, será que vale mais a pena apostar numa Mega Sena que pode pagar R$30 milhões ou numa Timemania que pode premiar R$5 milhões?
Pensar exclusivamente na questão PROBABILIDADE é a melhor referência. Porém, aliado a isso, o VALOR DO PRÊMIO e o VALOR DA APOSTA também são interessantes de levar em conta. Vale mais a pena gastar seus REAIS na MEGA SENA que paga R$30 milhões ou numa Timemania que pode premiar R$5 milhões? A probabilidade da Timemania é melhor (em relação à da Mega) e o valor da aposta é mais baixo.
É certo que O VALOR ALTO DE PRÊMIO seduz muito e valor baixo desmotiva o interesse. Porém, se o valor alto vem de um jogo cujas chances de ganho são muito discrepantes no confronto direto, muitas vezes é mais interessante ir atrás de um prêmio menor se as suas chances de êxito vencem, mesmo sendo uma premiação inferior.
De acordo com a relação PRÊMIO A CONQUISTAR e PROBABILIDADE DE LEVAR, CUSTO DA APOSTA, eu calculei uma NOTA DE MAIS VALIA. Veja na ORDEM (de cima para baixo) onde vale mais a pena (NOTA 100) gastar seu real até onde menos vale a pena apostar, levando tudo isso em consideração
A TABELA A SEGUIR MUDA DE ACORDO COM OS VALORES DOS PRÊMIOS, CUSTOS e REGRAS. CONFIRA A ANÁLISE NA DATA INFORMADA.
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