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Um arquiteto está reformando uma casa. De modo a contribuir com o meio ambiente, decide reaproveitar tábuas de madeira retiradas da casa. Ele dispõe de 40 tábuas de 540 cm, 30 de 810 cm e 10 de 1 080 cm, todas de mesma largura e espessura. Ele pediu a um carpinteiro que cortasse as tábuas em pedaços de mesmo comprimento, sem deixar sobras, e de modo que as novas peças ficassem com o maior tamanho possível, mas de comprimento menor que 2 m.

Atendendo o pedido do arquiteto, o carpinteiro deverá produzir

A) 105 peças.

B) 120 peças.

C) 210 peças.

D) 243 peças.

E) 420 peças.

Tem-se tábuas de 540 cm, 810 cm e de 1 080 cm.

Fatorando-se cada um desses números, temos:

`540 = 2^2* 3^3* 5`

`810 = 2* 3^4* 5`

`1080 = 2^3 *3^3* 5`

Para que não existam sobras nos cortes é necessário que o maior tamanho possível seja o máximo divisor comum entre 540, 810 e 1080.

Na fatoração de cada um dos números são fatores comuns as potências de base 2, 3 e 5. As ocorrências máximas e comuns de cada potência são `2^1`, `3^3` e `5^1`. Repare nisso, numa reordenação das fatorações para evidenciar isso:

`540 = (2^1 * 3^3 * 5^1) * 2^1`

`810 = (2^1 * 3^3 * 5^1) * 3^1`

`1080 = (2^1 * 3^3 * 5^1) * 2^2 `

Assim o `\text{MDC}(540, 810 ,1080) =2^1 * 3^3 * 5^1 = 270`. Porém, como as novas peças devem ter comprimento menor que 2 m, ou seja, menor que `200` cm, não podemos usar o tamanho de `27`0 cm. O maior divisor comum e menor que `200` é `3^3 * 5^1 = 135` (basta eliminar o fator mais baixo presente que é `2^1`).

Vamos calcular quantas peças podemos recortar usando a dimensão `135` cm:

Nas peças de 540 cm: `540/135=4`, com `40` dessas disponíveis, temos um subtotal de peças de `4*40=160`.

Nas peças de `810` cm: `810/135=6`, com `30` dessas disponíveis, temos um subtotal de peças de `6*30=180`.

Nas peças de `1080` cm: `1080/135=8`, com `10` dessas disponíveis, temos um subtotal de peças de `8*10=80`.

Total `160 + 180 + 80 = 420` peças.



E

Autoria da resolução professor Cardy Meier
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