dificuldade
Dada a função `g: \RR -> [1, +oo[`, onde
`(g(x))^2 = 2g(x)+3x^2`
Podemos dizer que a lei de `g` é:
A) `g(x) = 1 - \sqrt{1+3x^2}`
B) `g(x) = 1 + \sqrt{1+3x^2}`
C) `g(x) = 1 - \sqrt{1-3x^2}`
D) `g(x) = 1 + \sqrt{1-3x^2}`
E) `g(x) = 1 + \sqrt{-1+3x^2}`
De `(g(x))^2 = 2g(x)+3x^2`, denotemos por `g^2 = 2g+3x^2` para facilitar o desenvolvimento.
Assim,
`g^2 = 2g+3x^2`
`g^2 - 2g-3x^2 = 0`
`\Delta = b^2-4ac =(-2)^2-4*1*(-3x^2) = 4+12x^2=4*(1+3x^2)`
`\Delta = 4*(1+3x^2)`
`g_{1,2} = \frac{-b+-\sqrt{\Delta}}{2a}`
`g_{1,2} = \frac{-(-2) +- \sqrt{4(1+3x^2)}}{2*1}`
`g_{1,2} = \frac{2 +- \sqrt{4(1+3x^2)}}{2}`
`g_{1,2} = \frac{2 +- 2\sqrt{1+3x^2}}{2}`
`g_{1,2} = 1 +- \sqrt{1+3x^2}`
Temos que ou `g = 1 + \sqrt{1+3x^2}` ou `g = 1 - \sqrt{1+3x^2}`.
Como foi enunciado que `g: \RR -> [1, +oo[`, temos que o contradomínio de `g` é `[1, +oo[`. Logo, `g(x)` apenas tem correspondentes da imagem em `[1, +oo[` e isso implica que `g >=1`. Devido a esse fato, `g = 1 - \sqrt{1+3x^2}` não convém pois `g` teria como imagem números reais menores que `1` (para todo valor de `x`).
Repare que `g = 1 + \sqrt{1+3x^2}` tem imagem números reais maiores ou iguais a `1`, para quaisquer valores de `x`, satisfazendo a restrição estipulada em `g: \RR -> [1, +oo[`.
Portanto, `g = 1 + \sqrt{1+3x^2}`.
OBS.: O conjunto Imagem de `g` `Im_g = [2, +oo[`.
B
Autoria da questão e da resolução professor Cardy Meier
Por favor, ajude a divulgar o site que disponibiliza todo o material aberto para o seu estudo, cite [Autoria www.profcardy.com].
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