Professor Cardy

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Para determinar a distância de um barco até a praia, um navegante utilizou o seguinte procedimento: a partir de um ponto `A`, mediu o ângulo visual α fazendo mira em um ponto fixo `P` da praia. Mantendo o barco no mesmo sentido, ele seguiu até um ponto `B` de modo que fosse possível ver o mesmo ponto `P` da praia, no entanto sob um ângulo visual `2\alpha`. A figura ilustra essa situação:

trajetória do barco

Suponha que o navegante tenha medido o ângulo `\alpha = 30º` e, ao chegar ao ponto `B`, verificou que o barco havia percorrido a distância `AB = 2000 \text{ m}`. Com base nesses dados e mantendo a mesma trajetória, a menor distância do barco até o ponto fixo `P` será

A) `1000 \text{ m}`.

B) `1000 \sqrt{3} \text{ m}`.

C) `2000 \sqrt{3}/3 \text{ m}`.

D) `2000 \text{ m}`.

E) `2000 \sqrt{3} \text{ m}`.

Foi dado que `\alpha = 30º`, logo temos que `BhatAP = 30º`. Além disso, como o ângulo formado com a trajetória do barco e o segmento `\bar{BP}` mede `2\alpha`, temos que tal ângulo mede `60º` conforme a ilustração:

O ângulo `AhatBP` é suplementar do ângulo indicado na ilustração pela medida `60º`, portanto `\text{medida}(AhatBP) = 120º`. Lembre-se que dois ângulos são suplementares quando a soma das suas medidas é `180º`.

 

Como a soma das medidas dos ângulos internos de qualquer triângulo é `180º`, no triângulo `ABP` temos que `\text{medida}(AhatPB)=30º`

Portanto, o trângulo `APB` é isósceles uma vez que `BhatAP-=AhatPB` e isso nos leva a ter que `\bar{AB}-=\bar{BP}`; ou seja, `BP=2000 \text{ m}`.

 

Tomando um ponto `C` da linha da trajetória do barco de modo que temos `\bar{PC}` perpendicular a ela (para ter o caminho mínimo do ponto `P` à trajetória do barco), definimos um triângulo auxiliar `BCP`, retângulo em `C`:

Do triângulo `BCP`:

`\text{sen} 60º = \frac{PC}{PB}`

`\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{PC}{2000}`

`PC=1000 \sqrt{3}`



B

Autoria da resolução professor Cardy Meier
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