dificuldade
O número real `x`, com `0<x<\pi` satisfaz a equação
`log_3(1-cosx)+log_3(1+cosx)=-2`
então `cos2x+\text{sen}x` vale:
a) `1/3`
b) `2/3`
c) `7/9`
d) `8/9`
e) `10/9`
Dado que
`log_3(1-cosx)+log_3(1+cosx)=-2`
Da propriedade dos logaritmos `log_bA + log_bB=log_bAB`, para `A>0`, `B>0`, `b>0` e `b !=1`
`log_3[(1-cosx)(1+cosx)]=-2`
`3^(-2)=(1-cosx)(1+cosx)`
`1/9=1-cos^2x`
`:.1-cos^2x=1/9`
Da Relação Fundamental `sen^2A+ cos^2A=1` temos que `sen^2x+ cos^2x=1<=>1-cos^2x=\text{sen}^2x`
`1-cos^2x=1/9`
`\text{sen}^2x=1/9`
`:. cos^2x=8/9`
Para obter o resultado de `cos2x+\text{sen}x` procurado, precisaremos de duas informações:
1. Que `cos2x=cos^2x- \text{sen}^2x` e
2. O valor de ` \text{sen}x`.
Como `0<x<\pi`
`\text{sen}^2x=1/9 => \text{sen}x=1/3`
Portanto
`cos2x``+\text{sen}x=``cos^2x- \text{sen}^2x``+\text{sen}x`
`cos2x+\text{sen}x``=8/9- 1/9+1/3=10/9`
E
Autoria da resolução professor Cardy Meier
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